شکل ۲-۱۳ : تاثیر عامل بر روی سطح در حال رشد h
تشریح فیزیکی جمله خیلی پیچیده است، چون دارای یک ساختار اضافی با ناحیه کوچک مثبت نزدیک دره و ناحیه کوچک منفی نزدیک قله است. (در ناحیه مثبت دارای مینیمم نسبی ودر ناحیه منفی دارای ماکزیمم نسبی است) در این حالت شیب نقاط زیاد است. تاکید می کنیم که گرانش هیچ نقشی در رشد به روش ندارند. ]۲۱[
۲-۱۱-۱-۱ حل معادله رشد خطی همراه با پیشروی MBE
به علت خطی بودن معادله، همانند معادله EW، از طریق بازسنجی معادله رشد (۲-۴۶) و ضرب دو طرف تساوی در به حل معادله خطی می پردازیم:
| (۲-۴۷) |
و با توجه به ثابت بودن مقیاس و برابر قرار دادن آن ها با حالت، نماهای رشد، زبری و دینامیکی به صورت زیر خواهند بود:
| (۲-۴۸) |
اکنون با توجه به اینکه رشد سطح در چه بعدی انجام شده، می توان پارامتر (نمای زبری) را محاسبه کرد:]۱۶[
| (۲-۴۹) | |
| (۲-۵۰) |
مدلی توسط داس سرما و تامبورنی[۳۵] پیشنهاد شد که با هیچ یک از معادلات قابل توجیه نبود و در کلاس جدیدی بین قرار گرفت که مدل نامیده می شود. این مدل باید هموارتر از ته نشست تصادفی و ناهموارتر از مدل ته نشست تصادفی همراه با نرم سازی باشد و توان رشد این مدل است. در این مدل رفتار های دینامیکی فرایند پخش (انتشار) مثل شکست قید های شیمیایی و جهش بین سایت های همسایه صورت می گیرد.]۲۳[
۲-۱۱-۲ تئوری غیر خطی مدل MBE
اجزای غیرخطی را بابد به معادله (۲-۴۶) اضافه کرد. سپس آن تعدادی که از اصول تقارن بنیادی فرایند نمو تبعیت می کنند، حذف می شوند. هدف به دست آوردن معادله ای است که تحت تبدیلات در راستای نمو و در راستای عمود بر نمو ثابت بماند و نیز دارای تقارن چرخشی باشد. در ضمن شامل مشتقات مرتیه ی فرد x نیز باشد. هر جزء غیرخطی تعیین شده فرایند نمو پیشروی می بایست از معادله ی پیوستگی تبعیت کند که در آن اجزای مجاز نشانگر تعداد ذرات موجود در سطح می باشد.
| (۲-۵۱) |
شکل ۲-۱۴ : تاثیر عامل بر روی سطح در حال رشد h
جمله ( برای ) به طور مشابه به موقعیتی مربوط می شود که در آن ذرات که در نقاط بالاتر افتاده اند (مشتق بالاتر) در نقاط پایین (مشتق کوچکتر) نرم سازی می شوند. در این حالت ذرات می توانند قید هارا بشکنند و به نقاطی با ارتفاع کمتر بروند، این اتفاق برای زمانی که ذرات اجازه حرکت ندارند وجود ندارد .]۱۶-۲۱[
حل این معادله به علت وجود عامل غیر خطی دشوار است و نیاز به تکنیک های خاصی دارد. ما در اینجا به اختصار نماهای رشد و زبری و دینامیکی را عنوان می کنیم:
| (۲-۵۲) |
