رابطه (۲- ۱۸) = + P_sb_s
P_s=(P₁ ,P₂ ,…..,P_t) ماتریسی از اولین بردارهای ویژه است و b_s یک بردار از وزن­های t است
b_s = (b₁ ,b₂ ,…..,b_t) چون بردارهای ویژه متعامدند پارامترهای شکل b_s می ­تواند به صورت زیر محاسبه شود.
رابطه (۲- ۱۹) b_s = P_s ^T ( – )
این اجازه می­دهد که شکل­های معتبر لب به صورت فشرده نمایش داده شود. تعداد حالت­های متغیر از تعداد نقاط علامت­گذاری شده بسیار کمتر است.
۶ حالت از مدل توزیع نقطه­ای از ۱۱۴۴ تصویر آموزشی از پایگاه داده Av Letters که به صورت دستی برچسب­گذاری شده ­اند در شکل زیر نشان داده شده است.

شکل ۲- ۳ مدل توزیع نقطه­ای، هر حالت با σ۲ ± اطراف متوسط رسم شده است
برای تطبیق تکراری مدل توزیع نقطه­ای تابع هزینه مورد نیاز است. که این تابع هزینه باید می­نیمم شود.

رابطه (۲- ۲۰) e = ( g – g_mean)^T ( g – g_mean) – b_t ^T b_t
در تابع هزینه e، g پروفایل^[۳۴] سطح خاکستری ، g_mean میانگین بردار پروفایل سطح خاکستری است.
رابطه (۲- ۲۱) b_t = P^T ( g – g_mean )
پارامترها توسط b_t توصیف می­شوند [۹]. این روش همچنین در [۱۰] برای استخراج پارامترهای شکل استفاده شده و به همراه شدت روشنایی به عنوان ویژگی­های تصویری صحبت استفاده شده ­اند.
در [۱۱] یک سیستم لب خوانی اتوماتیک با بهره گرفتن از اطلاعات دیداری برای شناسایی ارقام انگلیسی مجزا از صفر تا نه ارائه شده است که از یک مدل شکل فعال چهارده نقطه­ای برای توصیف کانتور خارجی لب استفاده نموده است. که بعد از فرایند بهینه­سازی، مجموعه پارامترهای بهینه شامل
{ x_c ,y_c ,s ,θ ,b₀ } بدست می ­آید. که x_c ,y_c نقطه مرکزی از مدل لب می­باشد و s فاکتور مقیاس، θ زاویه چرخش و b₀ بردار وزن برای بردارهای ویژه است. که بردار وزن اطلاعات شکل را شامل می­ شود و برای تشخیص شکل­های متفاوت دهان اهمیت اساسی دارد. چون تغییرات در s و θ به تنظیمات دوربین وابسته است این پارامترها نمی ­توانند به بهبود عملکرد شناسایی کمک کنند. بنابراین، این دو پارامتر نرمالیزه شده، که نسبت به مقادیر به دست آمده آن­ها از تصویر اول در دنباله تصویر لب، مفیدتر واقع می­شوند. از این رو، بردار ویژگی تصویری{ s_normalized , θ_normalized ,b₀ } برای توصیف کانتور خارجی لب استفاده شده است.
در [۱۲] برای استخراج اطلاعات در مورد شکل و حرکت لب­ها از مدل­های شکل فعال استفاده شده است. مدلی که در این­جا استفاده شده است شامل دو گروه اصلی اطلاعات سطح خاکستری و اطلاعات شکل می­باشد. اطلاعات شکل برای پارامتری کردن صحبت و اطلاعات سطح خاکستری برای کمک به دنبال کردن لب­ها استفاده شده است. مدل شکل فعال توسط مدلی از پروفایل سطح خاکستری اطراف کانتور لب، لب­ها را دنبال می­ کند. از ۲۷ نقطه، با بردارهای پروفایل سطح خاکستری به طول ۹ که از هر نقطه می­گذرد استفاده شده است. تصاویر از پایگاه داده TULIPS1 انتخاب شده ­اند. برای هر فریم، پارامترهای شکل و شدت روشنایی با مدل شکل فعال استخراج شده، مدل­ها با ۲۰ پارامتر شکل و ۱۰ پارامتر شدت روشنایی آموزش داده شده ­اند. در [۱۳] از مدل شکل فعال بر اساس منحنی استفاده شده است. که از ۵ منحنی سهمی شکل برای نمایش لب استفاده شده است. که برای نمایش این سهمی­ها سه ضریب لازم است. در این روش نسبت به مدل توزیع نقطه­ای پارامترهای کمتری مورد نیاز است.
۲-۴ مدل­های انعطاف­پذیر^[۳۵]
در این روش ابتدا یک مدل هندسی برای لب مشخص شده و سپس یک تابع انرژی که پارامترهای مدل را به مرزهای شکل مرتبط می­ کند تعریف می­ شود. این تابع میزان تطبیق بین مدل و مرزهای شکل را برای هر وضعیت اندازه ­گیری کرده و وضعیتی را که کمترین مقدار تابع انرژی را فراهم سازد به عنوان بهترین انطباق بر می­گزیند. از این رو جستجویی در تصویر گرادیان و پارامترهای الگو انجام می­ شود تا شکل لب در هر تصویر تعیین شود. در فریم­های بعدی از شکل و موقعیت مدل، در فریم­های قبلی استفاده شده و پارامترهای هندسی تشکیل دهنده الگو به عنوان مشخصه استخراج می­ شود. این روش ناحیه لب و غیر لب را بر اساس رنگ و شدت روشنایی توسط یک مدل لب هندسی ساده جدا می­سازد[۱۴].
۲-۴-۱ مدل لب

شکل ۲- ۴ مدل هندسی لب
یک مدل هندسی انعطاف­پذیر برای لب در نظر می­گیریم چون مدل هندسی اجازه می­دهد که شکل لب توسط مجموعه­ کوچکی از پارامترها توصیف شود. معادلات مربوط به مدل شکل (۲- ۴) به شرح زیر است.
رابطه (۲- ۲۲) y₁ = h₁ ( ( ) ^۲ )^{۱+ δ^۲} – h₁
رابطه (۲- ۲۳) y₂ = (|x – sy₂| – x_off )^۲ + h₂
x ϵ [– w ,w] و (۰,۰) مرکز می­باشد. s انحراف شکل لب و δ انحراف منحنی y₂ از منحنی قائم را نشان می­ دهند. هنگامی­که مرکز مدل در (x_c ,y_c) قرار می­گیرد و لب انحراف θ نسبت به مرکز مدل دارد.
x را با θ (y – y_c) sin + θ (x – x_c) cos و y را با θ (y – y_c) cos + θ– (x – x_c) sin جایگزین نموده ­اند.
در نتیجه مجموعه پارامترها که شکل لب را کنترل می­ کنند توسط مجموعه ­ای به صورت
{ θ x_c , y_c , w , h₁ , h₂ , x_off , δ ,s ,}=p نشان داده شده ­اند.
۲- ۴-۲ فرمول­بندی تابع هزینه^[۳۶]
هدف قطعه­بندی تصویر به دو ناحیه لب و غیر لب می­باشد. اگر به هر پیکسل در تصویر یک احتمال تعلق به پیکسل لب اختصاص داده شود سپس تابع هزینه که در ذیل آمده به معیار حداکثر (ماکزیمم) احتمال منجر می­ شود که می ­تواند برای مشخص نمودن بخش­های پیش­زمینه و پس­زمینه استفاده شود.
رابطه (۲- ۲۴) C(p) = –
که R₁ و R₂ به ترتیب ناحیه لب و غیر لب می­باشند. Prob₁(x , y) احتمال پیکسل در مکان (x , y) متعلق به پیکسل­های لب است و Prob₂(x , y)= 1– Prob₁(x , y) احتمال پیکسل در مکان (x , y) متعلق به پیکسل­های غیر لب می­باشد. λ پارامترهای مدل را تعیین می­ کند. با لگاریتم­گیری و بسط به فضای پیوسته داریم:
رابطه (۲- ۲۵) E(p) = –
رابطه (۲- ۲۶) g(x , y)= log prob₁(x , y) – log prob₂(x , y)
که x₁(p) = x_c – w cos­θ و x₂(p) = x_c+ w cosθ نقاط گوشه چپ و راست لب هستند. y₁ (p;x) و y₂ (p;x) نقاط مرز عمودی از خط x هستند.
پارامترهای بهینه مدل تابع هزینه رابطه (۲- ۲۵) را می­نیمم می­ کنند. در اینجا برای یافتن احتمال هر پیکسل متعلق به لب یا به ناحیه غیر لب از خوشه­بندی فازی^[۳۷] استفاده شده است.
ناحیه بهینه هنگامی که رابطه (۲-۲۴) ماکزیمم شود به دست می ­آید. ماکزیمم بودن این رابطه با می­نیمم بودن رابطه (۲- ۲۵) معادل می­باشد.
۲-۴-۳ بهینه­سازی پارامترهای مدل
با بهره گرفتن از گرادیان نزولی تابع هزینه در رابطه (۲- ۲۵) می­نیمم می­ شود. با مشتق گرفتن نسبت به پارامترهای مدل رابطه زیر حاصل شده است.
=
رابطه (۲- ۲۷)
که p₁ = x_c , p₂ = y_c , p₃ = w , ….., p₈ = s , p₉ = θ می­باشند.
۲- ۵ الگوهای انعطاف پذیر
در [۱۵] از الگوهای انعطاف پذیر برای مدل کردن لب استفاده شده است.
شکل ۲- ۵ الگوی لب
همان طور که در شکل بالا دیده می‌شود برای مدل کردن لب از سهمی و برای مدل کردن زبان از بیضی استفاده شده است. که معادلات مربوط به آن­ها در ذیل آورده شده است.