(۲-۳۷)
(۲-۳۸)
با توجه به رابطه (۲-۳۵) عبارت زیر به ازای برقرار است:
(۲-۳۹)
اگر که تخمین بردارهای ویژه می باشد را در عبارت بالا قرار دهیم خواهیم داشت:
(۲-۴۰)
که در حقیقت، در رابطه فوق مقدار مینیمم تابع محاسبه می گردد. به منظور ساده تر نمودن روش محاسبه می توان، مقدار ماکزیمم تابع زیر را محاسبه نمود:
(۲-۴۱)
۲-۳-۶- معرفی روش [۴۳]
روش اولین روش با قدرت تفکیک بالا[۴۴] است که در آن از مدل داده ها استفاده می شود. اما نقاط ضعف زیادی دارد از جمله این که این روش مستلزم داشتن اطلاعات کامل یا کالیبراسیون آرایه[۴۵] است و جستجو برای یافتن جهت ها از حجم محاسباتی بالایی برخوردار خواهد بود. آرایه متشکل از زوج () سنسور است که به طور دلخواه در یک صفحه قرار گرفته اند. و بردار انتقال برای هر زوج سنسور، ثابت و برابر است (شکل ۲-۱). این آرایه تشکیل شده از زوج سنسورهایی که دارای الگوی پرتو یکسان هستند و هر سنسور می بایستی در تمامی جهات مورد نظر، توان مخالف صفر داشته باشد. توان، فاز و حساسیت پلاریزاسیون[۴۶] سنسورها در هر زوج سنسور کاملاً اختیاری است و زوج های متفاوت می توانند حساسیت های متفاوت داشته باشند (شکل ۲-۲). مزیت این روش بر روش های دیگر این است که در این روش نیازی به دانستن مشخصه سنسورها نیست و بردار جابجایی بین دو دسته سنسورها مبنای اندازه گیری جهت ها می باشد و در نتیجه، دقیق بودن هندسه آرایه از اهمیت خاصی برخوردار نیست و فقط می بایستی، بردار جابجایی بین زوج سنسورها یعنی ، ثابت باشد. بنابراین مزایای این روش، به صورت زیر خلاصه می گردد:
-
- عدم نیاز به کالیبراسیون آرایه
-
- قابلیت تفکیک پذیری بالا
اما این روش دارای معایبی نیز می باشد. یکی از معایب این روش این است که در هندسه آرایه به دلیل
ثابت بودن بردار انتقال برای هر زوج سنسور محدودیت وجود دارد.
شکل ۲-۱- هندسه آرایه
دوم آن که برای جهت یابی منبع موج ارسالی، می بایست دو برابر دیگر روش ها سنسور در آرایه وجود داشته باشد. البته تعداد سنسورها را می توان با انتخاب آرایش هایی که بین دو دسته آن ها هم پوشانی[۴۷] وجود دارد، همانند آرایش خطی یکنواخت کاهش داد (شکل ۲-۲). زیرا اولین قدم در الگوریتم ، انتخاب دو زیر آرایه مجزا می باشد. فرض کنید در محیط، سیگنال موجود باشد، بنابراین در هر زیر آرایه به سنسور نیاز است که در کل سنسور مورد نیاز می باشد. حال اگر از آرایه خطی استفاده نماییم، با انتخاب دو زیر آرایه به صورت زیر تنها به سنسور نیاز است.
شکل ۲-۲- نمایش آرایه ها برای الگوریتم
۲-۳-۷-مدل داده ها
فرض کنید که منبع باند باریک در فرکانس مرکزی و به حد کافی دور باشد، به طوری که در محیط همگن، جبهه موج هایی[۴۸] که بر آرایه وارد می شوند، موج هایی تخت باشند. فرض می شود که منابع ارسال موج، فرآیندهای اتفاقی ایستان[۴۹] با متوسط صفر یا سیگنال های معین[۵۰] هستند. نویز جمع شونده در تمام سنسور، یک فرایند اتفاقی ایستان با متوسط صفر و ماتریس همبستگی فضایی خواهد بود.
برای توضیح روش فرض می شود که آرایه از دو زیر آرایه ، تشکیل شده باشد، این دو
زیر آرایه در تمام خصوصیات فیزیکی یکسان هستند و فقط با یک بردار انتقال از یکدیگر جدا شده اند. سیگنال های دریافت شده در خروجی زوج سنسور ام را به صورت زیر می توان نوشت:
(۲-۴۲)
(۲-۴۳)
که در اینجا پوش سیگنال باند پایه ام و و نویز سفید گوسی جمع شونده
می باشند. از آنجایی که توان و الگوی فاز سنسورها اختیاری هستند، احتیاجی به اطلاعات حساسیت سنسورها ندارد و بردار انتقال آرایه، به عنوان مرجع اندازه گیری در مسئله ظاهر می شود.
با ترکیب خروجی های دو زیر آرایه با یکدیگر، بردار اطلاعات مربوط به هر آرایه را به صورت زیر می توان نوشت:
(۲-۴۴)
(۲-۴۵)
(۲-۴۶)
که در اینجا و بردار سیگنال دریافتی آرایه و بوده و ماتریس جهت دهی
زیر آرایه های و می باشد. هم چنین بردار سیگنال موجود در محیط می باشد. سیگنال ها
می توانند به طور جزئی همبسته باشند. ماتریس یک ماتریس قطری است که اعضای قطر آن تاخیرهای فازی بین زوج سنسورها را نشان می دهد. ماتریس به صورت زیر است:
(۲-۴۷)
و بردار نویز جمع شونده به سیگنال بوده که یک فرایند تصادفی ایستان با متوسط صفر و واریانس می باشد. فرض می شود که نویز جمع شونده به سیگنال، مربوط به سنسورهای مختلف ناهمبسته باشند:
(۲-۴۸)
با توجه به روابط فوق نتیجه می شود که زیرفضای سیگنال برای بردار و یکسان است و هر دو به وسیله ایجاد می شوند.
(۲-۴۹)
با بهره گرفتن از خاصیت فوق بدون داشتن ، با محاسبه ، جهت های مجهول به دست می آیند. با فرض نویز سفید مستقل، می توان ماتریس خودهمبستگی داده آرایه را به صورت زیر نوشت:
(۲-۵۰)
به همین ترتیب با توجه به نا همبسته بودن نویز آرایه و ، می توان ماتریس همبستگی متقابل داده های آرایه های و را به صورت زیر محاسبه نمود:
(۲-۵۱)
در روش برای تخمین ، می بایست ماتریس را با استفاده از ماتریس همبستگی ، محاسبه نمود. می توان نشان داد که اگر غیر منفرد (معکوس پذیر)[۵۱] باشد، مقدار ویژه تعمیم یافته غیر صفر مربوط به تابع برابر با هستند. ماتریس را به صورت زیر تعریف می نماییم.
با بهره گرفتن از مقادیر ویژه تعمیم یافته غیر صفر زوایای ورود محاسبه می شوند.
(۲-۵۲)
(۲-۵۳)
با توجه به رابطه (۲-۵۲) می بایست که مقادیر ویژه آن برابر مزدوج عناصر روی قطر گردد که همان اطلاعات زاویه ورود مورد نظر است.
(۲-۵۴)
اگر یک بردار ویژه تعمیم یافته باشد، نتیجه می شود:
