درجه آزادی در رابطه ( ۳-۳-۹ ) براساس ویژه مقدارها عبارت است از:
با توجه به اینکه تابع به ازای مینیمم می­ شود، بنابراین مقدار تابع به ازای این نقطه برابر با است. بنابراین

در نتیجه
.
همچنین با توجه به اینکه مقدار تابع به ازای مینیمم می­ شود، بنابراین مقدار تابع به ازای این نقطه برابر با است. فرض کنید باشد در این صورت
.
در نتیجه
بنابراین
است.
حال فرض کنید و ویژه بردار ماتریس باشد. با توجه به اینکه
است بنابراین
می­باشد. بردار را به صورت در نظر بگیرید. بنابراین می­باشد. در نتیجه
است. چون یک ماتریس معین مثبت است پس بزرگتر یا مساوی صفر است و این امر باعث می­ شود باشد. در نتیجه ویژه مقادیر ماتریس بین صفر و یک است.
با توجه به اینکه است داریم:
در نتیجه
از طرفی
و
بنابراین
در نتیجه
در نهایت به این نتیجه رسیدیم که
.

فصل چهارم: شبیه سازی

شبیه سازی
در این فصل با توجه به شبیه سازی مونت کارلو خطای نوع اول آزمون­های معرفی شده در فصل سوم را مقایسه و آزمون بهینه را با توجه به عملکرد خطای نوع اول مشخص می­کنیم. بدین منظور شبیه سازی برای ۱۰ و ۵ ،۳ گروه انجام شده است. با توجه به اینکه کلیه آزمون­ها نسبت به پارامتر مکان پایا هستند، بردار مشترک میانگین تحت فرض را بردار صفر در نظر گرفته و با توجه به ماتریس­های کوواریانس داده شده، در هر حالت نمونه­هایی از توزیع نرمال و ویشارت ۱۰ و۳ ،۲ متغیره تولید شده است. فرم کلی ماتریس­ها به صورت ، و یک ماتریس معین مثبت دلخواه، می­باشد. در آزمون جانسن برای هر مجموعه از اندازه­ های نمونه و پارامترهای داده شده، ۱۰۰۰۰ بار نمونه تصادفی تولید و در هر بار خطای نوع اول را محاسبه می­کنیم. آزمون­های متغیر تعمیم یافته و بوت استراپ پارامتری هر کدام شامل دو حلقه می­باشند که حلقه درونی ۵۰۰۰ بار به منظور محاسبه p- مقدار و حلقه بیرونی ۲۵۰۰ بار به منظور محاسبه خطای نوع اول تکرار می­ شود. نتایج در جداول ۴-۱، ۴-۲ و ۴-۳ به دست آمده است. همچنین مجدداً یادآوری می­کنیم که نمادهای GV و PB به ترتیب نشان دهنده آزمون­های متغیر تعمیم یافته و بوت استراپ می­باشند.
با توجه به جدول ۴-۱، زمانیکه ۵ و۳ و ۲ است، آزمون­های جانسن و GV برای اندازه­ های نمونه کوچک خطای نوع اول بالایی دارند اما زمانیکه انداره­های نمونه افزایش می­یابد، تفاوت چندانی با یکدیگر ندارند. خطای نوع اول آزمون GV زمانیکه حجم نمونه­ها نابرابر هستند و تفاوت زیادی با هم دارند از ۰۵/۰ فاصله می­گیرد. ولی آزمون جانسن در این شرایط عملکرد بهتری نسبت به آزمون GV دارد. این در حالی است که آزمون PB در اکثر حالات نرخ خطای نوع اول را کنترل کرده و به سطح معنی داری ۰۵/۰ نزدیک است.
در صورتیکه شبیه سازی برای ۱۰ گروه انجام شود، آزمون جانسن برای اندازه­ های نمونه ­ای نسبتاً بزرگ ( ۲۰ ) عملکرد رضایت­بخشی دارد در صورتیکه براساس جدول ۴-۱ نرخ خطای نوع اول آزمون GV مقادیر متفاوتی محاسبه می­ شود. به ویژه برای اندازه­ های نمونه ­ای کوچک و مساوی نرخ خطای نوع اول این آزمون بزرگتر از ۴/۰ به دست می ­آید. در این شرایط عملکرد آزمون PB به این صورت است که برای اندازه­ های نمونه ­ای کوچک و مساوی خطای نوع اول را کنترل کرده و در حالات دیگر تغییرات کمتری نسبت به دو آزمون دیگر دارد.
در جدول ۴-۲ شبیه سازی مربوط به ۳ برای ۳ و ۵ گروه انجام شده است. براساس این جدول آزمون PB تنها آزمونی است که خطای نوع اول نزدیک به ۰۵/۰ دارد. همچنین آزمون جانسن برای اندازه­ های نمونه ­ای نسبتاً بزرگ اما نزدیک به هم نرخ خطای نوع اول مناسبی دارد. در حالی که آزمون GV در این شرایط بدترین آزمون می­باشد.
به منظور ارزیابی خطای نوع اول در بعدهای بالاتر، شبیه سازی را برای حالت ۱۰ و ۳ انجام و در جدول ۴-۳ نشان داده­ایم. همان طور که ملاحظه می­ شود نتایج به دست آمده در این قسمت مانند نتایج جدول ۴-۲، به ویژه حالت ۳ ، است و این یکسانی نتایج نشان می­دهد تعداد بردارهای میانگین که مقایسه می­شوند اهمیت دارند.
بنابراین در نهایت می­توان آزمون PB را به عنوان آزمون بهینه از نظر نرخ خطای نوع اول معرفی کرد.
جدول ۴-۱- شبیه سازی نرخ خطای نوع اول برای مقایسه بردارهای میانگین نرمال دو متغیره