مدل تحقیق بر اساس تحقیقی که پری سادورسکی در سال ۲۰۱۰ انجام داده است و در آن ارتباط بین شاخصهای توسعه مالی و مصرف انرژی را بررسی کرده است انتخاب شده است. برای بدست آوردن رابطه بین مصرف انرژی و شاخصهای توسعه مالی از روش گشتاورهای تعمیم یافته^[۱۹۵](GMM) استفاده کردهایم که تخمینزنی برای پانل پویاست^[۱۹۶] و به وسیله هولتز - ایکین^[۱۹۷] ، نوی و روسن^[۱۹۸]، آرلانو و بوند^[۱۹۹]،آرلانو و بور^[۲۰۰] توسعه داده شده است و امروزه به طور وسیعی در کارهای تجربی مورد استفاده قرار میگیرد. در این تحقیق از دو دسته داده های مقطعی^[۲۰۱] و داده های سری زمانی^[۲۰۲] استفاده شده است که به آن داده های پانل میگویند. روش داده های پانل هر دو بعد زمان و مکان را در نظر میگیرد که در این تحقیق به معنای استفاده از اطلاعات ۳۳ کشور طی ۱۹ سال است که به دو گروه تقسیم شدهاند؛ گروه اول شامل ۱۴ کشور درحال توسعه است که دارای تولید نفت بالا هستند و گروه دوم شامل ۱۹ کشور درحال توسعه اروپایی و اوراسیایی است که سهم نفت از تولید ناخالص داخلی آنها ناچیز است. به طور کلی میتوان گفت مزیت استفاده از داده های پانل نسبت به سری زمانی و داده های مقطعی این است که داده های پانل اطلاعات آگاهی دهنده بیشتر، تنوع پذیری بیشتر، همخطی کمتر بین متغیرها، درجات آزادی و کارایی بیشتر را فراهم میکند. در حالی که سریهای زمانی غالبا دچار همخطی میباشند. در داده های پانل به دلیل اینکه ترکیبی از سریهای زمانی و مقطعی میباشد، بعد مقطعی باعث اضافه شدن تنوع بسیار زیادی میشود که با در دست داشتن این اطلاعات میتوان برآوردهای معتبرتری را انجام داد. در ضمن این روش امکان بیشتری برای شناسایی و اندازه گیری اثراتی را فراهم میآورد که به وسیله آمارهای مقطعی و یا سری زمانی به سادگی قابل شناسایی نیست.

۳-۳ تخمین زنندههای GMM
این تخمینزنها شامل طیفی از برآوردگرهاست که در مطالعاتی که اخیراً صورت میگیرند به خصوص در بحثهای مالی و کلان به کار گرفته میشوند. همانطور که خواهیم دید این طبقه کلی از تخمینزنندهها در حقیقت شامل بیشتر تخمینزنندههایی است که در کتب مختلف بیان میشوند. تکنیک GMM در واقع بسطی از تکنیک گشتاورها (MM) است که به مدلهای دیگری فراتر از رگرسیون خطی تعمیم یافته است.
۳-۳-۱ تخمین بر اساس شرایط متعامد بودن^[۲۰۳]
تخمین به وسیله روش گشتاورها به صورت زیر ارائه میشود. مدل تعریف شده برای متغیر تصادفی یا وابسته   به انتظارات ویژهای اشاره میکند، برای مثال   میانگین توزیع   میباشد
سپس تخمین   به وسیله شکلگیری یک مشابه نمونهای برای امید ریاضی از سر گرفته میشود.
مثال برای این امید ریاضی، معادله گشتاور تجربی است:   شرایط گشتاوری که برای تخمین مورد استفاده قرار میگیرند شامل   میباشند. ورود داده های نمونهای، معادله های گشتاور برای تخمین ایجاد میکند.
اکنون تفاوت آشکار تخمینزننده حداقل مربعات از پارامترها را در یک مدل رگرسیون خطی کلاسیک ملاحظه میکنید. یک فرض مهم مدل این است که   و مشابه نمونه به صورت زیر است
تخمینزننده   آن است که این معادلات گشتاوری را که فقط معادلات نرمال برای تخمینزننده حداقل مربعات هستند، مرتفع میسازد. بنابراین میبینیم که تخمینزن OLSیک روش تخمینزننده گشتاورهاست. برای تخمینزننده متغیرهای ابزاری، بر یک مشابه نمونهای بزرگ جهت شرایط گشتاوری متکی شدیم.
در واقع مسئله داشتن ابزارهای بیشتر از پارامترها به وسیله حل معادلات برطرف میشود.
جایی که ستونهای   ، ارزشهای مناسب در رگرسیون برای همه ستونهای z دارند.تخمینزننده حداقل مربعات غیرخطی به طور مشابه تعریف شده اگر چه در این موارد، از آن جایی که تخمینزننده فقط ضمنی و بدون شرط است، معادلات نرمال پیچیدهتر هستند. شرایط متعامدبودن برای مدل رگرسیون غیرخطی   =۰ است. معادله گشتاور تجربی به صورت زیر است.
=۰
۳-۳-۲ عمومی کردن روش گشتاورها
یک راه حل برای معادلات گشتاور وجود خواهد داشت که در آن معادلات دقیقا تأمین خواهند شد اما مواردی هست که تحت آن معادلات گشتاوری بیشتری از پارامترها وجود دارد، بنابراین سیستم بیش از حد تعیین شده است. در یک مثال چهار گشتاور نمونهای را تعریف میکنیم.
محدودیتهای احتمالی ,     است. هر زوجی میتوانست برای تخمین دو پارامتر مورد استفاده قرار گیرد اما شش جفت، شش تخمین متفاوت از   ارائه میدهد. در چنین مواردی برای استفاده از همه اطلاعات نمونه، تدابیر و طراحی یک راه برای بر طرف کردن تخمینهای متداخل که ممکن است از دستگاه معادلات بیش از حد تعیین شده ایجاد شوند، ضروری به نظر میرسد. به طور کلی مدل شامل K پارامتر،   میباشد و تئوری یک مجموعه از   شرط گشتاور فراهم میآورد.
که   متغیرهایی هستند که در مدل ظاهر میشوند، اندیس i در   وابستگی به (   ) را نشان میدهد. میانگین نمونه مشابه، دلالت بر معادله زیر دارد:
مگر اینکه معادلات به لحاظ تابعی وابسته باشند. سیستم L معادله در K پارامتر ناشناخته،
یک راه حل واحد نخواهد داشت. برطرف کردن اختلاف مجموعه های متفاوت از تخمینها که میتواند تولید شود، ضروری خواهد بود. یک امکان minکردن تابع معیار است مانند مجموع مربعات زیر است.
میتوان مشاهده کرد^[۲۰۴] که تحت فروضی که تاکنون ایجاد کردهایم، بخصوص
،
Min کردن q در معادله یک تخمینزن سازگار از   ایجاد میکند. میتوان در حقیقت، به عنوان مجموع مربعات وزنی استفاده کرد.   که   هر ماتریس معین مثبت است که ممکن است به داده ها بستگی داشته باشد ولی تابع   نیست. برای مثال ممکن است یک ماتریس قطری از وزنها اگر برخی از اطلاعات در مورد اهمیت گشتاورهای متفاوت در دسترس باشند، استفاده کنیم. فرض   یک ماتریس معین مثبت را ایجاد میکند. یا همان منطق حداقل مربعات تعمیم یافته را نسبت به حداقل مربعات معمولی مرجح میکند، استفاده از یک معیار وزنی که تحت آن وزنها به طور معکوس متناسب با واریانس گشتاورها هستند مفید به نظر میرسد. حال w را یک ماتریس قطری که عناصر آن معکوسهای واریانس گشتاورهای منفرد هستند در نظر میگیریم:   این رابط را برای تاکید این نکته که طرف سمت راست معادله شامل واریانس میانگین نمونه است از مرتبه   نوشتهایم. سپس یک فرایند حداقل مربعات وزنی معادله زیر را Min میکند:   به طور کل، Lعنصر   به راحتی همبسته هستند. در معادله بالا یک ماتریس قطری w را که این همبستگی را نادیده میگیرد، استفاده کردهایم. برای استفاده از حداقل مربعات تعمیم یافته، باید ماتریس کاملی را تعریف کنیم:
تخمینزنندهها با انتخاب   برای minکردن   که تخمین زننده های حداقل فاصله هستند تعریف شدند. نتیجه عمومی این است که اگر   یک ماتریس معین مثبت باشد و اگر   =۰ باشد آنگاه تخمینزننده حداقل فاصله از   سازگار میباشد. از آنجا که ملاک OLS در معادله   را استفاده میکنیم این شیوه یک تخمینزن سازگار مانند تخمینزن حداقل مربعات وزنی کامل را تولید میکند. آنچه برای تصمیمگیری باقی میماند، استفاده از بهترین w است. مشاهدات ممکن است پیشنهاد کند که آنچه در   و
تعریف شد بر اساس منطق که حداقل مربعات تعمیم یافته را بر میانگیزد، w بهینه است. ماتریس کواریانس مجانبی این تخمینزننده GMM به صورت زیر است:
که r ماتریس مشتقها^[۲۰۵] است با jردیف که برابر است با^[۲۰۶].
و (
۳-۳-۳ تخمینزنGMM در مدلهای داده های پویا
داده های پانل برای آزمایش اثرات پویا مناسب به نظر میرسند، همانطور که در مدل زیر مشاهده میشود:
مجموعه متغیرهای سمت راست و   اکنون شامل متغیر وابسته و وقفهدار   میباشد. با اضافه کردن پویاییها در یک مدل به این صورت تغییر عمده در تفسیر معادله صورت میگیرد. بدون متغیر وقفهدار” متغیر های مستقل” مجموعه کامل اطلاعات را که نتیجه مشاهده شده   را تولید میکند، نشان میدهند. با متغیر وقفهدار، اکنون در معادله نمایش کاملی از متغیرهای سمت راست را داریم، بنابراین هر اثر اندازه گیری شده مشروط به این مسئله است و در این مورد، هر اثری از   اثر اطلاعات جدید را بیان میکند.
پیچیدگیهای ذاتی در تخمین چنین مدلی ظهور میکند. در هر دوی اثرات ثابت و تصادفی، مشکل متغیر وابسته وقفهدار است که منشا این آشفتگی میباشد، حتی اگر فرض شود که   دارای خود همبستگی نیست؛ تخمینزننده اثرات ثابت از   میتواند به عنوان میانگین n تخمینزننده در نظر گرفته شود. فرض کنید که   که تعداد متعیرها در   است. سپس داریم:
که برابر است با:
که ردیفهای ماتریس   ،   و   هستند و   ماتریس   است که انحرافات از میانگینهای گروهی را ایجاد میکند. در هر تخمینزننده خاص گروهی،   ناسازگارتر است، همانطور که در نمونه های محدود انتظار میرود واریانس آن وقتی که n افزایش مییابد به سمت صفر میل میکند و این ماتریس که از میانگین وزنی n تخمینزننده ناسازگار شکل گرفته است نیز ناسازگار خواهد بود. مسئله در مدل اثرات تصادفی شفافتر است، در مدل زیر:
متغیر وابسته وقفهدار با جزء اخلال ترکیبی در مدل همبسته است، که همان   است و برای هر مشاهده در گروه i وارد معادله میشود. هیچ کدام از این نتایج مدل را غیر قابل تخمین نمیکند ولی استفاده از تکنیکهایی غیر از تخمینزنندههای LSDVیا FGLS را ضروری میکنند. نگرش کلی که در مراحل مختلف در ادبیات توسعه پیدا کردهاند، به تخمینزنندههای متغیرهای ابزاری و اخیراً آرلانو- بوند ۱۹۹۱ و آرلانو- بور ۱۹۹۵ به یک تخمینزننده GMM روی میآورند. برای مثال در هر دوی مدلهای اثرات ثابت و تصادفی، این عدم تجانس با یک تفاضل مرتبه اول برطرف میشود که مدل زیر را تولید میکند:
این مدل هنوز با همبستگی بین متغیر وابسته وقفهدار و جزء اخلال پیچیدهتر میشود و با میانگین متحرک مرتبه اول جزء اخلالش. اما با وجود اثرات ثابت گروهی، یک تخمینزننده متغیرهای ابزاری ساده در دسترس است. با فرض اینکه سریهای زمانی به اندازه کافی طولانی است، میتوان تفاضل مرتبهدار را استفاده نمود،   یا سطوح وقفهدار بیشتر میتوانند به عنوان ابزاری برای   استفاده شوند؛ متغیرهای دیگر میتوانند به عنوان ابزاری برای خود مورد استفاده قرار گیرند. با این ساختار، این مدل یک فرم استاندارد از تکنیک متغیرهای ابزاری میباشد و این نگرش حمایت از متغیرهای ابزاری برای تخمین را روشن میسازد^[۲۰۷].
۳-۳-۴ مدل پانل پویا^[۲۰۸]
با توجه به ماهیت مدل در این تحقیق که متغیر وابسته با وقفه سمت راست معادله وجود دارد به منظور تخمین معادله از مدل پانل پویا استفاده میکنیم. یکی از منافع و کاربردهای پانل پویا درک بهتر پویاییها است. روابط پویا با حضور متغیرهای وابسته وقفهدار میان متغیرهای توضیحی مدلسازی میشود.
که در آن   یک اسکالر است. بردارهای   و     میباشند. با فرض اینکه   از مدل جزء اخلال یک طرفه تبعیت میکند، به عبارتی تنها یک عامل باعث تفاوت مقطعهاست و آن الگوی اثرات ثابت است^[۲۰۹]داریم:   که در آن   مستقل از یکدیگراند. مسئله خود همبستگی به دو دلیل حضور متغیر وابسته وقفهدار در میان متغیرهای توضیحی و اثرات مقطعی