فروش ۱ ۳ ۲ ۳ ۴ ۲ ۳ ۵
کارکنان/فروش ۰/۵ ۱ ۰/۶۶۷ ۰/۷۵ /۸ ۰/۴ ۰/۵ ۰/۶۲۵
تعداد کارکنان و میزان فروش هر شعبه فروشگاه (بر حسب ۱۰۰۰۰۰ ریال) در ستون مربوطه داده شده است. سطر آخر جدول ۱-۱ نسبت فروش به هر یک کارمند–مقیاسی از بهره وری–که اغلب به وسیله مدیران و تحلیل گران سرمایه گذاری استفاده می شود – را نشان می دهد. همان گونه که در ذیل رابطه (۱-۱) گفته شد در حالت عمومی تر می توان آن را به عنوان کارایی در نظر گرفت. بنابراین با این شاخص B کارآمدترین شعبه است و F در پایین ترین رده کارایی قرار دارد.

اجازه دهید این اطلاعات را به صورت نمودار شکل ۳-۱ نمایش دهیم که در آن تعداد کارمندان، محور افقی و میزان فروش، محور عمودی را نشان می دهد. شیب خط واصل بین هر نقطه و مبدأ متناظر با نسبت فروش به تعداد کارمندان است و بیشترین شیب مربوط به خط واصل بین نقطه B و مبدأ است. این خط “مرز کارا” نامیده می شود. توجه کنید که این خط از حداقل یک نقطه می گذرد و سایر نقاط در رو یا زیر آن قرار می گیرند. نام تحلیل پوششی داده ها، یعنی DEA، از این خاصیت گرفته شده است، زیرا در اصطلاح ریاضی چنین مرزی این نقاط را پوشش می دهد.

شکل ‏۳‑۱ : کارایی
پایداری مناسب
با این اطلاعات ممکن است بخواهیم خط رگرسیون آماری این نقاط را برازش کنیم. خط نقطه چین در شکل ۳-۲، خط رگرسیون آماری را نشان می دهد که از مبدأ می گذرد و بر اساس روش کمترین مربعات از معادله y =0.622xپیروی می کند. به طور طبیعی این خط از میان این نقاط می گذرد و لذا می توان نقاط بالای آن را “عالی” و نقاط زیر آن را نامناسب یا غیر رضایت بخش تعریف کرد. میزان مناسب یا نا مناسب بودن این نقاط را می توان با اندازه گیری فاصله آن ها از این خط تعیین کرد. از طرف دیگر خط مرزی به کاراترین شعبه فروشگاهی یعنی B مشخص می شود و اندازه کارایی سایر شعب به وسیله انحراف از آن اندازه گیری می شود. بنابراین یک تفاوت اساسی بین روش آماری مبنی بر تحلیل رگرسیون و DEA وجود دارد. اولی وضعیت “متوسط” یا “تمایل مرکزی” رفتار مشاهدات را منعکس می کند، در حالی که دومی با بهترین عمکرد سر و کار دارد و عملکرد همگی را بر اساس انحراف آن ها از خط مرزی مشخص می کند. این دو دیدگاه در ارزیابی عملکرد می توانند به رویه بهبود متفاوتی نیز منجر شوند. DEA نقطه ای مانند B را به عنوان هدف آتی یا الگوی محک زنی برای استفاده در رویه بهبودهای بعدی معرفی می کند. در روش آماری میانگین شامل نقاط B و F و سایر مشاهدات مبنایی برای استفاده در رویه بهبود های بعدی در نظر گرفته می شود.
اجازه دهید به مثال قبلی برگردیم. در حقیقت قابل قبول نیست که بپذیریم خط مرزی با همین شیب تا بی نهایت ادامه یابد. در ادامه این موضوع را با بهره گرفتن از مدل های مختلف DEA بررسی می کنیم. به هر حال فرض می کنیم که این خطوط در دامنه مورد نیاز موثر است و آن را فرض “بازده به مقیاس ثابت” می نامیم.

شکل ‏۳‑۲ : رگرسیون آماری
در مقایسه با شعبه B، سایر شعب ناکارا هستند. میتوانیم کارایی آنها ار نسبت به B به صورت زیر محاسبه کنیم:

و بر اساس نتایج ارائه شده در جدول ۳-۲ آنها به صورت زیر مرتب می شوند.
۱= B > E > D > C > H > A =G > F = 0/4
بنابراین کارایی شعبه F معادل ۰/۴x100% = 40% شعبه B است.
جدول ‏۳‑۲: کارایی
شعبه A B C D E F G H
کارایی ۰/۵ ۱ ۰/۶۶۷ ۰/۷۵ ۰/۸ ۰/۴ ۰/۵ ۰/۶۲۵
اکنون به مسأله چگونگی تبدیل واحد های ناکارا به کارا می پردازیم، یعنی چگونه آنها را به مرز کارا هدایت کنیم. برای مثال شعبه A به چند طریق می تواند بهبود یابد. یک روش کاهش ورودی (تعداد کارمندان) به A₁ با مختصات (۱،۱) روی مرز کار است. روش دوم، افزایش خروجی (میزان فروش بر حسب ۱۰۰۰۰۰ واحد) یه A₂با مختصات (۲،۲) است. هر نقطه روی پاره خط A₁A₂ یک روش بهبود ارائه می دهد که مبتنی بر عدم افزایش ورودی و عدم کاهش خروجی در فرایند کارا ساختن این شعبه است.
این مثال ساده ای است که نسبت های ارائه شده در جدول ۳-۱ شروع به جدول ۳-۲ شامل نسبت نسبت ها منجر شد حاوی یک نکته مهم می باشد. مقادیر جدول ۳-۱ دارای واحد اندازه گیری هستند در حالی که در جدول ۳-۲ این چنین نیست. برای مثال اگر میزان فروش بر حسب ۱۰۰۰۰ دلار بیان شود آنگاه نسبت مذکور برای F از۰/۴= به=۴ تغییر می کند در حالی که مقدار جدول ۳-۲ بدون تغییر و معادل=۰/۴ می ماند و امتیاز کارایی نسبی F مستقل از واحد اندازه گیری خواهد بود. این خاصیت را ‏مستقل از واحد اندازه گیری نامند و برای مدت های طولانی به عنوان یک خاصیت مهم در مهندسی و علوم شناخته شده است. برای نمونه مثالی از مهندسی را در نظر می گیریم که در آن کارایی کوره از رابطه ن زیر محاسبه می شود:
داریم:
‏ میزان گرمای به دست آمده از یک واحد سوخت در کوره مورد نظر_r،حداکثر گرمایی که می توان از یک واحد از همان سوخت به دست آورد_R،میزان حد اکثر را می توان از تحلیل های شیمیایی- فیزیکی مبتنی بر اصول ترمودینامیک به دست آورد. نکته قابل توجه آن است که مقدار سوخت، x، باید برای همه یکسان باشد، بنابراین ا‏ز نظر ریاضی داریم:
بنابراین ( ۱-۳) از نسبت نسبت ها به دست می آید که مستقل از واحد است.
با دقت دوباره در مقادیر جدول ۳-۲ می بینیم که این مقادیر محدود به بازه صفر و یک هستند. به هر حال تغییرات مشاهده شده در جدول ۳-۲ ناشی از مازاد ورودی یا کمبود خروجی است. به علاوه این وضعیت در مسائل ت
جاری و سیاسی- اجتماعی (اقتصادی) که مورد توجه این پایان نامه است، رایج می باشد. به این خاطر است که از رابطه(۱-۴) کمتر استفاده می کنیم. به علاوه این فرمول به حالت یک خروجی، یک ورودی محدود می باشد. تلاش برای توسعه آن به حالت چند ورودی، چند خروجی به مشکلاتی منجر می شود که قبلا در بحث بهره وری جزئی و بهره وری کل توضیح داده شد.

شکل ‏۳‑۳ : بهبود شعبه A
حالت دو ورودی و یک خروجی
برای رسیدن به حالت چند ورودی، چند خروجی، جدول ۳-۳ را در نظر می گیریم که در آن عملکرد ۹ فروشگاه بزرگ که هر یک دو ورودی و یک خروجی دارند، فهرست شده است. اولین ورودی x1 تعداد کارمندان (برحسب ۱۰ ‏نفر) و دومین ورودی، x2،‏مساحت فروشگاه (برحسب ۱۰۰۰ ‏متر مربع) است که تنها خروجی، y میزان فروش (برحسب۰ ۰ ۰ ۰ ۰ ‏۱دلار) می باشد. توجه کنید که میزان فروش معادل ۱ ‏واحد با فرض بازده به مقیاس ثابت در نظر گرفته شده است. نمودار فروشگاه در حالی که نسبت های
به عنوان محور در نظرگرفته شده اند (محورهایی که)، در شکل ۳-۴ ارائه شده است. همان نقاط را می توان در داخل ناحیه محدود به مرز کارا، خط افقی که از C می گذرد و خط عمودی که از E ‏می گذرد، پوشش داد. این ناحیه را مجموعه امکان تولید(PSS) ‏می نامیم. به عبارت دقیق تر آن باید فرض “مجموعه امکان تولید قطعه قطعه خطی است” نامیده شود زیرا تضمینی برای قطعه قطعه خطی بودن مرز این ناحیه یعنی از قطعه هایی مانند پاره خط واصل EوD یا D و C تشکیل شده باشد، وجود ندارد، به این ترتیب فرض می شود نقاط مشاهده شده گواه بر امکان تولید به نرخ های مشخص شده به وسیله مشخصات هر نقطه در این ناحیه می باشند.
جدول ‏۳‑۳: حالت دو ورودی و یک خروجی

فروشگاه A B C D E F G H I
کارکنان x₁ ۴ ۷ ۸ ۴ ۲ ۵ ۶ ۵/۵ ۶
مساحت x₂ ۳ ۳ ۱ ۲ ۴ ۲ ۴ ۲/۵ ۲/۵
فروش y 1 1 1 1 1 1 1 1 1
کارایی نقاطی که روی مرز کارا قرار ندارند به روش زیر اندازه گیری می شود. برای مثالA ‏ کاراست. برای اندازه گیری ناکارایی آن فرض کنید OAخط واصل از مبدأ به A ‏، مرز کارا را در P قطع کند (شکل۳-۴ را ببینید). آن گاه کارایی A می تواند به صورت زیر ارزیابی شود:
=۰/۸۵۷۱
یعنی ناکارایی A باید به وسیله ترکیبی از D و E ارزیابی شود (زیرانقطه Pروی خط واصل بین این دو نقطه است). Dو E ‏مجموعه مرجع A ‏نامیده می شود. مجموعه مرجع ممکن است از یک فروشگاه به فروشگاه دیگر تغییر کند. برای مثال مجموعه مرجع B شامل نقاط D و C در شکل ۳-۴ ‏‏است. همچنین می توان مشاهده کرد که بسیاری از فروشگاه ها در اطراف D قرار گرفته اند و می توان گفت که D یک فروشگاه کاراست که “نماینده” می باشد، در حالی که اگر چه C و E ‏کارایند ولی درجمع پاره خط های مرز مشخصات منحصر بفردی دارند که از سایر مشاهدات دور هستند .

شکل ‏۳‑۴ : بهبود فروشگاه A
اکنون تحلیل شکل ۱-۳ را برای تعیین رویه بهبود نقاط ناکارا برای هدایت آن ها به مرز کارا در حالت دو ورودی (یک خروجی) توسعه می دهیم. برای مثالA می تواند با حرکت به نقطه P با ورودی های x1=3/4 و x2 = 2/6 کارا شود. این مختصات نقطه P روی مرز کاراست که قبلا با پاره خط OA1 در شکل ۱-۵ مشخص شده اند. به هر حال هر نقطه روی پاره خط DA1 نیز می تواند به عنوان یک کاندیدای بهبود عمل کند. D با کاهش ورودی X2 قابل دسترسی است، در حالی که به A1از طریق کاهش ورودی X1 می توان رسید. یک روش دیگر بهبود، افزایش خروجی و ثابت نگه داشتن ورودی هاست.
حالت یک ورودی و دو خروجی
جدول ۳-۴ تعداد مشتریان (بر حسب ۱۰ نفر) و همچنین میزان فروش (بر حسب ۱۰۰۰۰۰ دلار) به هر فروشنده را برای ۷ فروشگاه نشان می دهد. برای اینکه یک مرز یکه بدست آوریم آنها را بر تعداد کارمندان (فر وشندگان) که تنها ورودی مساله است تقسیم کرده ایم. مرز کارا خط واصل بین نقاط B، E، F، G مطابق شکل ۳-۵ است.
جدول ‏۳‑۴: حالت یک ورودی و دو خروجی
فروشگاه A B C D E F G
کارکنان x 1 1 1 1 1 1 1