- اگر l و n=1 باشد (حالت خطی) برآزش سگمنت جاری متوقف‌شده و ساختار خطی انتخاب‌می‌شود (با فرض درست بودن ).
- اگر l و n2 باشد آنگاه n=n+1 مرحله یک اجرا‌شده. در‌غیر‌اینصورت به مرحله ۶ بر‌‌‌می‌‌گردد.
‌دو‌‌‌نیمه‌سازی بازه در نقطه وسط و پنجره شناسایی برابر خواهد‌بود و با مطلوب بودن خطا به مرحله یک برمی‌‌گردد. و نصف‌‌کردن داده‌ها‌‌ تا جایی که برآزش مناسبی حاصل شود ادامه‌‌‌می‌‌یابد ‌[۱۰] شکل (۳-۲).
شکل(۳-۲): دو‌‌‌نیمه‌سازی فواصل
بدین گونه کل y به صورت تکه‌ها‌‌یی از یک ‌‌‌چند‌جمله‌ای درجه دو بفرم تبدیل‌شده و وضعیت علامت مشتقات به صورت زیر خواهد‌بود.
(۲۲-۳)
(۲۳-۳)
فصل چهارم
منطق فازی
۴-۱ مقدمه
منطق فازی^[۸۵]برای اولین بار در سال ۱۹۶۰ توسط دکتر لطفی‌زاده، استاد علوم کامپیوتری دانشگاه برکلی کالیفرنیا، ابداع شد. ‌پایان‌نامه کلاسیک پرفسور لطفی‌زاده درباره مجموعه فازی که در سال ۱۹۶۵ به چاپ رسید، سرآغاز جهتی نوین در علوم و مهندسی سیستم و کامپیوتر بود. سیستم‌ها‌‌ی فازی سیستم‌ها‌‌یی، مبتنی بردانش یا قواعد می‌‌باشند. قلب یک سیستم فازی یک پایگاه دانش بوده که از قواعد اگر- آنگاه فازی تشکیل‌شده‌است. یک قاعده اگر-آنگاه فازی یک عبارت اگر–آنگاه بوده که بعضی کلمات آن بوسیله توابع تعلق پیوسته مشخص‌می‌شود.

خواص و ویژگی‌هایی که برای تعیین اعضای مجموعه فازی بیان‌می‌شوند به صورت فازی هستند ویک توصیف دقیق نمی‌باشند، بنابراین می‌توان از توابع تعلق مختلف برای نشان‌‌‌دادن یک مجموعه فازی استفاده‌نمود در عمل منحنی‌ها‌‌یی به کار می‌روند که نمایش ریاضی ساده‌ای داشته‌باشند و با تعداد پارامتر کمی قابل تنظیم باشند، به عنوان مثال توابع: مثلثی، ذوزنقه‌ای و…
به طور نمونه یک تابع تعلق مثلثی را می‌توان با سه پارامتر زیر نشان داد::
A = [ a1 a2 a3 ]
که ‌ها‌‌ بر روی شکل (۱-۴) مشخص‌شده‌اند.

شکل (۴-۱): تابع تعلق مثلثی
درجه عضویت x را در مجموعه فازی با نشان‌‌‌می‌‌دهند. توابع تعلق‌‌‌می‌‌توانند؛ هم‌پوشانی داشته‌باشند. بدین‌معنا که می‌‌تواند با درجه عضویت‌های مختلف عضو دو یا چند تابع تعلق باشد‌. و برای انتخاب توابع تعلق به طور کلی دو راه وجود‌‌دارد. اول، استفاده از دانش انسان خبره‌ است که این راه حل فقط یک انتخاب اولیه است و باید آن را تعیین و تنظیم نمود. دوم، استفاده از داده‌ها‌‌ی جمع‌ آوری‌شده برای تنظیم دقیق تابع تعلقی است که ساختار کلی آن قبلا تعیین ‌شده‌ است.
۴-۲ مدل‌سازی فازی
فرض کنید یک ورودی به سیستم اعمال کرده و از ورودی و خروجی سیستم، نمونه‌برداری کرده‌ایم و می‌‌خواهیم در این بخش یک ساختار ساده به صورت زیر در اطلاعات بدست آمده برآزنده نماییم:
,)
مراحل مدل‌سازی فازی:
۱- از اطلاعات ورودی و خروجی، مقادیر حداقل و حداکثر آنها را مشخص‌‌‌می‌‌کنیم
(,) و (,) .
۲-فاصله بین (تا) و (تا) را به ۲n+1 قسمت، تقسیم‌‌‌می‌‌کنیم. وبرای هر قسمت یک تابع عضویت تعریف‌‌‌می‌‌کنیم شکل (۲-۴).
۳- انتخاب نام برای هر یک از بخش‌ها‌‌
۴- در هر لحظه t به ازای اطلاعات ورودی و خرجی، یک ارتباط بین آنها با یک منطق فازی به‌ صورت IF,…THEN,… برقرار‌‌‌می‌‌نماییم.
۵- از بین قوانینی که IF آنها یکی است، ولی THEN متفاوتی دارند، یکی را به عنوان قانون برتر انتخاب‌‌‌می‌‌نماییم.
در نمونه برداری از وروردی و خروجی سیستم از آنجایی که تعداد نمونه‌ها‌‌ زیاد است. احتمال شرط IF آنها باهم برابر ولی شرط THEN آنها با هم متفاوت باشد، زیاد است. لذا از بین قوانینی که IF

شکل (۴-۲): تعاریف برای ورودی و خروجی جهت ‌‌‌مدل‌سازی فازی ‌[۳]
یکسان و THEN متفاوت دارند، باید یکی را به عنوان قانون برتر انتخاب نماییم.
ساده‌ترین روشی که‌ می‌شود برای انتخاب قانون برتر ذکر‌نمود. این است؛ که تمام شرط‌ها‌‌یی که دارای IF یکسان و THEN متفاوت‌دارند، مقدار تابع عضویت را برای ورودی و خروجی متناظر آن، در هم ضرب‌‌‌می‌‌کنیم، عدد حاصله به عنوان ضریب وزنی اعتبار دهنده به شرط در نظر‌گرفته‌می‌شود. در نهایت شرطی که دارای بیشترین اعتبار‌‌‌می‌‌باشد. به عنوان شرط غالب در‌نظر‌‌‌می‌‌گیریم و مابقی را حذف‌می‌‌نماییم.
۶- تمام قوانین فازی انتخاب‌شده را در یک جدول وارد‌‌‌می‌‌نماییم ‌[۳].
در بخش بعد ما به طور خلاصه بحث منطق فازی، و برخی از موارد استعمال وقایع، مبتنی بر ‌‌‌منطق فازی ، را بررسی‌‌‌می‌‌کنیم و ارتباط ‌‌‌منطق فازی با استراتژی تطبیق وقایع را شرح‌‌‌می‌‌دهیم.
۴-۳ تطبیق شناسایی فازی
در سال ۱۹۸۷ کرامر رویکردی برای تشخیص خطا برای یک فرایند شیمیایی با در‌اختیار‌داشتن الگوهای خطا و الگوهای مطلوب معرفی نمود و نشان‌داد رفتار مدل با تکنیک‌ها‌‌ی غیر‌بولی بسیار پایدارتر از تکنیک‌ها‌‌ی بولی است ضمن آنکه تشخیص خطا در روش غیر‌بولی در برابر نویز بسیار مقاوم است. در فرایند تبدیل دیتای ضبط‌شده به فرم اشکال هندسی بسیاری از ویژگی‌ها‌‌ی مهم ترند، حذف‌شده و دقت را پایین‌‌‌می‌‌آورد. البته لازم به ذکر است در برخی موارد نیز دقت، امری غیر‌ضروری خواهد‌بود و به همین منظور، باید موازنه‌ای^[۸۶] بین سرعت، بهره و شفافیت در استدلال‌ها‌‌ی منطقی و سایر موارد مفید دیگر در نظر‌گرفته‌شود.
گستره ‌‌‌منطق‌فازی برنامه‌ها‌‌ی کاربردی بسیاری را در حوزه وقایع به دست آورده‌است. آگاهی از چگونگی عملکرد منطق فازی برای برآزش با بهره گرفتن از الگوهای اولیه هندسی به عنوان زبان مرجع وقایع، مطابق با شکل (۳-۴) صورت‌‌‌می‌‌پذیرد. در این شکل یک هم پوشانی نرمی ‌‌بین مرزهای عناصر P وجود‌‌دارد. که در نهایت منتج به یک برجستگی فازی در الگوهای منحنی دارP، به عنوان زبان اولیه وقایع‌می‌شود. بنابراین وقایع، خود را به طور طبیعی با رفتار فازی معطوف‌‌‌می‌‌سازند ‌[۹].
شکل(۴-۳) شباهت یا عدم شباهت فازی گونه بین الگوها
فرایند نگاشت مقایسه وقایع، در چند عامل متفاوت‌‌‌می‌‌باشد. که عبارتند از:
۱.شکل کیفی وقایع یا به عبارتی ترتیب الگوهای
۲.طول الگوهای
۳.تغییرات دامنه الگوهای
در شکل (۴-۴) دو واقعه با تعداد الگو و دامنه متفاوت نشان داده‌شده‌است. برای این منظور هر دو سنسور داده‌ها‌‌ی ‌[] را در نواحی منحنی دار بصورت m ناحیه نمایی ، در کل بازه زمانی ‌[,] به ترتیب الگوهای پشت سر هم به صورت کیفی و پارامتریک از درجه دو مطابق رابطه (۴-۱) ضبط‌شده و برای رسیدن به یک قانون فازی آگاهی از توصیف‌ها‌‌یی که به تشخیص وقایع کمک‌‌‌می‌‌نماید ضروری خواهد‌بود.
(۴-۱)
داده‌ها‌‌ی ذخیره‌شده در دو تعریف کیفی و کمی ‌‌به صورت زیر بیان‌می‌‌شود.
توصیف کیفی: = [
توصیف کمی: = [
در این ذخیره‌‌‌‌سازی بیشترین تمرکز بر روی تعریف کیفی خواهد‌بود. و در ادامه به نحوه بیان شرطی توصیف کیقی خواهیم‌پرداخت.
همانگونه که قبلا در ‌‌‌مدل‌سازی فازی بیان‌شد نگاشت وقایع در فرم IF-THEN بدست‌آمده که این قوانین بین خروجی سنسور با حالت فرایند در ارتباط است (معمولا بصورت چندتایی به یک است).
نگاشت ممکن است با چند سنسور و با چند شرط if به یک نتیجه که در نهایت به یک خطا یا FAULT منجرمی‌‌شود. در این مورد از شناسایی فرم کلی بیان شرطی بصورت زیر بیان‌می‌شود:
If sensor S1 shows ” Trend ” AND
sensor S2 shows ” Trend ” AND . . . then