زمانی که در یک بازی سه بازیکن وجود داشته باشد، به تعداد استراتژی­ های بازیکن سوم صفحه (ماتریس) خواهیم داشت. در هر صفحه یا در هر ماتریس استراتژی­ های بازیکن اول و دوم نشان داده می­ شود و استراتژی بازیکن سوم در آن ماتریس ثابت در نظر گرفته می­ شود. در این صورت عناصر ماتریس دارای سه عدد خواهد بود که آخرین عدد سمت راست نشان­دهنده پیامد بازیکن سوم می­باشد (عبدلی،۱۳۸۷).
۳-۴-۳- تعادل نش
در نظریه بازی­ها فرض بر این است که بازیکنان عاقل هستند، یعنی استراتژی­ های انتخابی آنها در راستای منافعشان است. در نتیجه مسئله تصمیم ­گیری یک بازیکن به صورت زیر در می ­آید:
(۳-۷) Max_siSi u_i (s_i , s_-i)
که در آن s_i استراتژی انتخابی بازیکن i و s_-i ترکیب استراتژی تمام بازیکنان بازی به استثنای بازیکن i است.
تعادل نش موقعی حاصل می­ شود که اولا هر بازیکن با توجه به باوری که نسبت به انتخاب حریف دارد، استراتژی را انتخاب می­ کند که بیشترین پیامد را عایدش کند و ثانیا باور بازیکن صحیح باشد. تعادل نش یک ویژگی عمده و اساسی دارد و آن اینکه در این تعادل، لزوما انتخاب بازیکنان پیامد بیشتر عاید آنها نمی­کند.
تعادل نش عمدتا مبتنی بر بهترین پاسخ است. بهترین پاسخ بازیکن i در بازی در قالب فرم استراتژیک به صورت زیر تعریف می­ شود:
(۳-۸) B_i(s_-i) = {s_i S_i : u_i (s_i , s_-i) ≥ u_i (s^‘_i , s_-i) , s_i S_i }
برای هر S_i s_-iیک مجموعه B_i(s_-i) وجود دارد که ممکن است یک مجموعه تک­عضوی یا بیشتر باشد.

بنابراین در تعادل نش بازیکن i هیچ انگیزه­ای برای تغییر استراتژی s_i ندارد، زیرا این استراتژی به خوبی یا بهتر از هر استراتژی دیگری است. به عبارت دیگر اگر سایر بازیکنان هر استراتژی را انتخاب کنند، بهترین واکنش بازیکن i این است که استراتژی s_i را انتخاب کند. بنابراین تعادل نش به معنی بهترین واکنش است و نه انتخابی که بهترین پیامد را داشته باشد.
۳-۵- بازی­های پویا با اطلاعات کامل
بازی اطلاعات کامل بازی است که در آن پیامد بازیکنان برای هر ترکیب استراتژی آنها به صورت اطلاعات عمومی بوده و همه بازیکنان از آن اطلاع دارند. بازی­های پویا بازی­هایی هستند که در آن، تصمیمات بازیکنان به صورت متوالی است. به عبارت دیگر، ابتدا یک بازیکن حرکت می­ کند و سپس بازیکن دیگر با مشاهده حرکت بازیکن اول، حرکت خود را انجام می­دهد. این ویژگی باعث شده تا روش تحلیل این بازی­ها با بازی ­های ایستا متفاوت باشد.
ماهیت بازی­های پویا که در آن تصمیمات بازیکنان به صورت متوالی اتخاذ می­ شود باعث شده تا استفاده از فرم بسط یافته راه مناسبی برای نمایش این بازی­ها باشد. بدین منظور بازیکنان از ۱ تا n شماره­گذاری می­شوند.
فرم بسط یافته یک بازی، موارد زیر را نشان می­دهد:

1. 1. مجموعه بازیکنان

1. 1. ترتیب حرکات بازیکنان

1. 1. اعمال ممکنی که یک بازیکن می ­تواند در هر حرکت نشان دهد.

1. 1. اطلاعات هر بازیکن در هر حرکت

1. 1. برد بازیکنان در پایان بازی که ناشی از هر ترکیبی از حرکات بازیکنان است.

به هر حال یکی از راه­های ساده برای نمایش بازی پویا، فرم بسط یافته است که معمولا به صورت درخت بازی^[۳۸] نشان داده می­ شود. اجزای درخت بازی که نشان­دهنده ی عناصر فرم بسط یافته بازی است به صورت زیر می­باشد:

1. 1. گره اولیه^[۳۹]: گره­ای است که شروع بازی را نشان می­دهد، شروع بازی می ­تواند توسط یکی از بازیکنان و یا توسط عواملی غیر از بازیکنان یعنی محیط باشد.

1. 1. گره­های تصمیم ­گیری^[۴۰]: گره­هایی هستند که نقطه شروع تصمیم هر بازیکن در بازی را نشان می­ دهند، یعنی هر گره نشان­دهنده مرحله و نوبت تصمیم یک بازیکن است.

1. 1. گره­های نهایی^[۴۱]: گره­هایی هستند که پایان بازی را نشان می­ دهند و در آن گره­ها پیامد بازیکنان بر حسب ترتیب آنها در درخت بازی نمایش داده می­ شود.

1. 1. شاخه­ها^[۴۲]: از هر گره غیر نهایی ممکن است چند شاخه نشات بگیرد که هر شاخه نشان­دهنده عملی برای بازیکن آن گره است. هر شاخه ممکن است به یک گره نهایی و یا گره تصمیم دیگر ختم شود که در حالت اول ختم بازی را نشان می­دهد و در حالت دوم تداوم بازی را نشان می­دهد.

به کلیه گره­های قبل از گره مورد نظر” گره­های قبلی^[۴۳]” و به کلیه گره­های بعد از گره مورد نظر ” گره­های بعدی^[۴۴]” می­گویند. هر مسیر بازی^[۴۵] نشان­دهنده دنباله ای از گره­ها و شاخه­ها است که از گره اول شروع و به گره نهایی ختم می­ شود. در یک بازی ممکن است چند مسیر بازی وجود داشته باشد.
۳-۵-۱- بازی با اطلاعات تمام و ناتمام
بازی پویا با اطلاعات کامل ممکن است با اطلاعات تمام و یا نا تمام باشد. در بازی با اطلاعات تمام، پیشینه بازی (پیشینه کامل بازی عبارت است از دنباله عمل بازیکنان که از گره اول بازی شروع می­ شود و به گره نهایی ختم می­ شود) برای بازیکن معلوم است یعنی در هر مرحله از بازی، بازیکنی که نوبت حرکت او رسیده است دقیقا می­داند که در کدام گره تصمیم ­گیری قرار دارد. بازیکن این حالت را موقعی که پیشینه بازی برای او معلوم باشد متوجه خواهد شد. در واقع در حالت اطلاعات تمام، هر بازیکن تمام انتخاب­های قبلی را که توسط بازیکنان قبیل انجام گرفته می­داند.
ممکن است در بازی پویا، در برخی از مراحل بازی، برخی از بازیکنان پیشینه بازی^[۴۶] را ندانند و لذا نتوانند تشخیص دهند که در کدام گره تصمیم ­گیری خود قرار گرفته­اند و یا در برخی از مراحل بازی مجبور باشند با بازیکن مقابل به طور همزمان تصمیم ­گیری کنند به این نوع بازی­ها، بازی­های پویا با اطلاعات ناتمام می­گویند.
۳-۵-۲- مجموعه اطلاعاتی
مجموعه اطلاعاتی یک بازیکن نشان­دهنده این است وقتی بازی به گره یا گره­های تصمیم ­گیری او رسیده است درباره حرکت یا عمل انتخابی بازیکنان قبل از خودش، چه می­داند یعنی آیا پیشینه بازی را می­داند یا خیر. یک مجموعه اطلاعاتی بازیکن، نشان­دهنده گره­های تصمیم ­گیری متعلق به او است که نتواند تشخیص دهد که در کدامیک از آنها قرار گرفته است. پس اگر مجموعه اطلاعاتی یک گره تصمیم ­گیری را شامل شود در این صورت آن بازیکن می­داند که دقیقا در آن گره قرار گرفته است و یا بازیکن قبلی چه عملی را انتخاب کرده است. اگر یک مجموعه اطلاعاتی بازیکنی دو گره تصمیم ­گیری یا بیش از آن را شامل شود در این صورت آن بازیکن نمی داند که در کدام از آن گره­ها قرار دارد زیرا انتخاب بازیکن قبلی را که منتهی به آن گره­ها می­ شود را نمی­داند.
لذا مجموعه اطلاعاتی یک بازیکن نشان­دهنده گره­های تصمیم ­گیری گردهم آمده او است که دارای دو ویژگی زیر باشد:

1. 1. آن گره­ها به آن بازیکن تعلق داشته باشد.

1. 1. وقتی که بازیکن به آن گره­ها رسید، دقیقا نداند که روی کدامیک قرار دارد. (همان)

می­توان بازی­های بااطلاعات تمام و ناتمام را با بهره گرفتن از مجموعه­های اطلاعاتی بازیکنان تعریف کرد. در بازی پویا با اطلاعات کامل و تمام، مجموعه اطلاعاتی بازیکنان تک­عضوی است ولی در بازی پویا با اطلاعات کامل و ناتمام حداقل یک مجموعه اطلاعاتی بیش از یک عضوی وجود دارد.
۳-۵-۳- فرم استراتژیک یک بازی فرم بسط­یافته
برای نشان دادن بازی­های فرم بسط یافته در فرم استراتژیک، ضروری است اطلاعات بازیکنان را در فرم بسط یافته به فرم استراتژیک منتقل کرد. در تعریف فرم بسط یافته، تعریف و مفهوم استراتژی در این حالت بسیار مهم می­باشد.
در بازی ایستا، به طور ساده هر استراتژی بیانگر عمل یا اقدام بازیکن است. اما در بازی پویا مفهوم استراتژی تا حدودی پیچیده­تر است، زیرا علاوه بر عمل بازیکن، عکس­العمل او را نیز نشان می­دهد. به عبارت دیگر بازیکن هم عمل می­ کند و هم عکس­العمل نشان می­دهد. علاوه بر این، بازیکنان باید برنامه­ ریزی کنند که در تمام موقعیت­هایی که در این بازی پیش می ­آید، چگونه واکنش نشان خواهند داد. در بازی­های در فرم استراتژیک هر بازیکن از میان استراتژی­ های خود تنها یک بار انتخاب می­ کند. در فرم بسط یافته یک بازی ممکن است در چند گره تصمیم ­گیری، انتخاب انجام دهد. لذا در فرم بسط یافته بازی، استراتژی را به صورت زیر تعریف می­کنیم:
یک استراتژی در فرم بسط یافته بازی عبارتست از برنامه جامعی
که مجموعه اقدامات یا اعمال بازیکنان را توصیف می­ کند که در تمام
گره­های ممکن تصمیم ­گیری اتخاذ می­ کند.
بنابراین اگر این نوع بازی­ها بخواهند در فرم استراتژیک نوشته شوند باید انتخاب­های مکرر آنها در فرم بسط یافته، در استراتژی فرم استراتژیک تبلور پیدا کند.
۳-۵-۴- تعادل SPE در بازی­های پویا
جهت یافتن تعادل تمام در بازی­های پویا با اطلاغات کامل از روش SPE (تعادل تمام در بازی فرعی^[۴۷]) استفاده می­ شود. در این روش ابتدا کل بازی در فرم بسط یافته به چند بازی فرعی تفکیک می­ شود. اصطلاح بازی فرعی در رابطه با فرم بسط یافته بازی­ها مطرح می­ شود که به صورت زیر تعریف می­ شود:
بازی فرعی بخشی از فرم بسط یافته بازی پویا یا زیر مجموعه ­ای از آن است. در نمودار درختی یا فرم بسط یافته بازی، زیر مجموعه ­ای از ان که دارای خواص زیر باشد، یک بازی فرعی است:
الف. از یک گره تصمیم شروع می­ شود که این گره الزاما تنها گره در مجموعه اطلاعاتی است. به عبارت دیگر، بازی فرعی نمی­تواند از مجموعه اطلاعاتی چندگرهی شروع شود، بلکه باید از مجموعه اطلاعاتی تک­گرهی شروع شود.
ب. شامل تمامی گره­ها و شاخه­هایی باشد که از گره شروع بازی منشعب می­شوند.