فرض کنیم  ، دامنه بسته و محدب و کراندار باشد و  مسئله مینیمم سازی خطی  روی دامنه‌اش را به صورت زیر بیان می‌کنیم:

مسئله P به عنوان یک مسئله برنامه ریزی محدب را باید به شکل استاندارد در نظر گرفت در واقع شکل جهانی یک مسئله محدب است ؛ مسئله محدب کلی به صورت زیر را می‌توان به شکل استاندارد آن بازنویسی کرد .

که توابع  روی مجموعه محدب و پیوستهH ، پیوسته و محدب می‌باشد ، بدین منظور کافی است قرار دهیم :

دامنه شدنی G معادل مسئله استاندارد ، محدب و بسته است . در شکل استاندارد ، G کراندار فرض شده است که همیشه این گونه نیست ، اما فرض کرانداری از نقطه نظر عملی مهم نیست ؛ زیرا می‌توان یک مسئله واقعی با G بی‌کران را با یک مسئله با ناحیه شدنی کراندار با اضافه کردن محدودیت  باR بزرگ ، تقریب زد .
بنابراین ما روی مسائلی به شکل استاندار P تمرکز می‌کنیم ، آنچه برای مسئله P به روش نقطه درونی لازم داریم ، یک مانع ϑ-خود هماهنگ برای دامنه است و مانع داده شده را Fمی‌نامیم، که به ازای  ، قادر به محاسبه مقدار، گرادیان و هسین مانع در x هستیم .

۴-۲-۱ روشF- تولید مسیر تعقیب
طرح کلی مسیر تعقیب برای حل P به صورت زیر است :
مانع ناتباهیده ، هموار و محدب F برای دامنه شدنی G داده شده است . مرتبط با این مانع و تابع هدف خانواده جریمه :

که  پارامتر جریمه و مسیر مینیمم مقدار خانواده به صورت  است ، خوش تعریف می‌باشد ، زیرا F ناتباهیده و G کراندار است . روش دنباله ی  را تولید می‌کند که تقریب دنباله ی  ، نقاطی از مسیر در راستای مقادیر پارامتر جریمه  می‌باشد ؛ در واقع  را می‌دهد که  نزدیک به  است . در یک تکرار روش ،  را با مقدار بزرگ‌تر  جایگزین می‌کنیم آن‌گاه با به روزرسانی  به یک تقریب  نزدیک به نقطه هدف جدید  می‌رسیم . برای به روز رسانی  ، تابع جدیدی از خانواده را در نظر می‌گیریم، یعنی  و یک روش مینیمم سازی نامقید هموار با نقطه شروع  را به کار می‌بریم. این طرح کلی روش است.
توجه کنید که مانع خود هماهنگ برای دامنه کراندار و محدب جهت ایجاد الزامات کلی توسط این طرح است. در واقع یک مانع محدب، همواره  و ناتباهیده است . ذات مسئله به وضوح نشان می‌دهد که خاصیت‌های خاص یک مانع خود هماهنگ باعث چند جمله‌ای شدن طرح می‌شود .
۴-۲-۲ طرح اولیه مسیر تعقیب
طرح مسیر تعقیب نشان می‌دهد که حتی با مانع ثابت ، مجموعه‌ای از روش‌ها بهتر از یک روش است. برای رسیدن به یک روش، کافی است:

• • سیاست به روز رسانی پارامترهای جریمه

• • اسب کارگر^[۳۱]: روش بهینه سازی که برای به روز رسانیx استفاده می‌شود.

• • معیار توقف در روش یا معیاری که باعث حفظ “نزدیکی به مسیر  ” در هنگام ردیابی باشد .

در روش اولیه مسیر تعقیب موارد فوق به شرح زیر است :

• • با ثابت کردن پارامتر  - نرخ جریمه- و به روزرسانی t براساس قاعده زیر است :

(۴-۶)

• • برای تعریف مفهوم “نزدیک به مسیر”^[۳۲] ثابت دیگری مانند  را در نظر می‌گیریم که آن را معیار مجاز مسیر^[۳۳] می‌نامیم و راستای دنباله  نزدیکی رابطه را حفظ می‌کند :

(۴-۷)
(به جای  می نویسیم  زیراF از  توسط یک تابع خطی، متفاوت می‌شود)

• • به روزرسانی  توسط روش میرا شده نیوتن داده شده است.

(۴-۸)
در  شروع می‌شود تا جفت  که در میزان نزدیکی  صدق می‌کند ، ادامه دارد ؛ در ‌‌نهایت قرار می دهیم  بنابراین به جفت به روزرسانی  می‌رسیم .
آنچه که جالب است خاصیت همگرایی و پیچیدگی روش است.
۴-۲-۳ همگرایی و پیچیدگی
خاصیت همگرایی و پیچیده ی روش اولیه مسیر تعقیب با دو گزاره زیر توصیه می‌شود :
گزاره ۴-۲-۱ : (نرخ همگرایی) اگر (t,x) در میزان نزدیکی  با  صدق کند ، آن‌گاه
(۴-۹)
مقدار بهینهP را c* وϑ پارامتر مانع خود هماهنگF است. به طور کلی در طرح بالا داریم.
(۴-۱۰)
با ثابت مثبت  وابسته به γ است .
برهان : فرض کنیم  ، مینیمم مقدار باشد. با اثبات نامساوی زیر شروع می‌کنیم :
(۴-۱۱)
به عبارت دیگر، وقتی دقیقا روی مسیر هستیم، باقی مانده در عبارت‌های هدف نشان می دهد که هدف مستقل، از بالا کراندارست و متناسب با معکوس پارامتر جریمه است، در نتیجه  ، مینیمم مقدار  رویG است و داریم :

در رابطه فوق از خاصیت نیمه کرانداری فصل ۳ و رابطه (۴-۱۱) به دست آمده است .
تابع روی intG خود هماهنگ است (جمع دو تابع خود هماهنگ ، یعنیF و تابع خطی –گزاره (۲-۱-۱) - قسمت ب)، فرض کنیم  . با بهره گرفتن از (۲-۲۰) می‌رسیم به
(۴-۱۲)
که  نرم اقلیدسی تعریف شده توسط هسین  است یا‌‌ همان هسین F در  است .
حال داریم :

( نامساوی فوق از (۴-۱۲) و این که F یک مانع ϑ-خود هماهنگ برایG است ، به دست آمده است بنابراین  ) . در نتیجه