خواص مدل‌های ذره مستقل^[۳]، قطره مایع^[۴] و خوشه‌ای^[۵] را دارا می‌باشد. ادامه این فصل به معرفی این مدل‌ها اختصاص یافته است. همچنین در فصل دوم به طور کامل مدل شبکه‌ای FCC را معرفی کرده ایم. معیار سنجش هر مدل شرح کامل خواص هسته‌ای و توافق مناسب با داده‌های تجربی می‌باشد، بنابراین در فصل سوم خواص هسته را از طریق این مدل مطالعه نموده ایم. هدف اصلی معرفی این مدل ایجاد هسته از طریق مدل شبکه‌ای FCC و بررسی کارآمد بودن این مدل در برهم‌کنش یون‌های سنگین می باشد. در نتیجه، بعد معرفی سایر مدل‌ها نظیر مدل دابل-فولدینگ^[۶] و پتانسیل باس^[۷] برای محاسبه پتانسیل هسته‌ای با بهره گرفتن از نیروی برهم‌کنش نوکلئون- نوکلئون M3Y-Paris و توزیع نوکلئون‌ها از طریق این مدل پتانسیل هسته‌ای را محاسبه کرده‌ایم. بنابراین فصل چهارم این تحقیق به بررسی محاسبه پتانسیل هسته‌ای و سطح مقطع همجوشی واکنش‌های  ،  و نتیجه‌گیری اختصاص یافته است.

۱-۲ معرفی مدل‌های هسته‌ای

از جمله مدل‌های متداول برای مطالعه ساختار هسته مدل‌های ذره مستقل و مدل دسته‌جمعی^[۸] می‌باشد.

مدل ذره مستقل: در مدل ذره مستقل ذرات در پائین‌ترین مرتبه صورت مستقل در یک پتانسیل مشترک حرکت می‌کنند. مانند مدل لایه‌ای^[۹].

مدل دسته­جمعی: در مدل دسته‌جمعی یا برهم‌کنش قوی، به علت برهم‌کنش‌های کوتاه‌برد و قوی‌بین نوکلئون‌ها، نوکلئون‌ها قویاً به یکدیگر جفت می‌شوند. مانند مدل قطره مایع]۳[.

۱- ۲-۱ مدل قطره مایع

از جمله مدل‌های اولیه برای مطالعه ساختار هسته مدل قطره مایع می‌باشد که توسط بور^[۱۰] وفون وایکسر^[۱۱] از روی قطره‌های مایع پیشنهاد شده است. در این مدل هسته بصورت قطرات مایع باردار تراکم‌ناپذیر با چگالی زیاد درنظر گرفته می‌شود که همچون مولکول‌ها در یک قطره مایع دائماً در حال حرکت کاتوره‌ای می‌باشند و هسته تمامیت خود را با نیروهای مشابه کشش سطحی قطره مایع حفظ می‌کند. این مدل برای بیان روند تغییر انرژی بستگی نسبت به عدد اتمی و واکنش هسته‌ای مفید می‌باشد.

مدل قطره مایع برای این سوال که چرا بعضی از نوکلئیدها مانند  با نوترون‌های کند شکافته می‌شوند و برخی دیگر  نوترون‌های سریع پاسخ ساده‌ای دارد که علت آن را انرژی فعال‌سازی بیان می‌کند، یعنی حداقل میزان انرژی که هسته بتواند به قدر کافی تغییر شکل دهد. تغییر شکلی که نیروهای رانش الکتریکی بتواند بر نیروهای جاذبه الکتریکی غلبه کند. این مقدار انرژی فعال‌سازی را می‌توان به یاری تئوری ریاضی مدل قطره مایع محاسبه نمود که رابطه تعمیم یافته و کلی انرژی بستگی را می‌دهد. یکی از مهمترین واقعیت‌های موجود در هسته ثابت بودن تقریبی چگالی هسته است. حجم یک هسته با عدد A (تعداد نوکلئون) متناسب می‌باشد و این واقعیتی است که در مورد مایعات نیز صادق می‌باشد.

در شکل (۱-۱) متوسط انرژی بستگی بر حسب نوکلئون رسم شده است. نظم و ثبات انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون بصورت تابعی از عدد جرمی A و ثابت بودن چگالی هسته ای منجر به ارائه فرمول نیمه تجربی جرم و پیشنهاد مدل قطره مایع توسط وایسکر شد.

نخستین واقعیت لازم برای رسیدن به یک فرمول برای جرم، ثابت بودن تقریبی انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون برای ۵۰  است، بنابراین انرژی بستگی متوسط برای یک هسته نامتناهی بدون سطح باید دارای مقدار ثابتی مثل  باشد، که همان انرژی بستگی ماده هسته ای است .از آنجایی که تعداد A ذره در هسته وجود دارد سهم حجمی آن  ، در انرژی بستگی به صورت زیر می باشد،

• 1. .

نوکلئون های سطحی پیوندهای کمتری دارند و اندازه متناهی یک هسته حقیقی منجر به یک جمله  به صورت رابطه زیر در انرژی بستگی می گرددکه متناسب با سطح هسته بوده و انرژی بستگی را کاهش می دهد،

(۱-۲) .

انرژی کولنی ناشی از نیروی دافعه الکتریکی است که بین هر دو پروتون وجود دارد. برای سادگی فرض شده است، پروتون ها به صورت یکنواخت در سراسر کره ای به شعاع  توزیع شده اند، با بهره گرفتن از معادله انرژی کولنی،  ، سهم کولنی در انرژی بستگی به صورت زیر خواهد شد. از آنجایی که این انرژی باعث کاهش انرژی بستگی هسته ای می شود با علامت منفی در رابطه زیر قرار داده می شود،

)۱-۳) .

انرژی تقارنی از اصل طرد ناشی می شود، زیرا این اصل برای آنکه هسته ای بخواهد نوعی از نوکلئون را بیشتر از نوع دیگر داشته باشد انرژی بیشتری مطالبه می کند، که عبارت تقریبی آن به صورت زیر است،

(۱-۴) .

با ترکیب نمودن روابط فوق انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون رابطه ای که وایسکر پیشنهاد کرد به صورت زیر خواهد شد]۴[،

. (۱-۵)

مقادیر ثابت در این روابط با برارزش انرژی‌های بستگی مشاهده شده در آزمایش‌ها تعیین می‌شود،

 

(۱-۶)

 

.

شکل ۱-۱ انرژی بستگی متوسط بر نوکلئون بر حسب عدد جرمی برای هسته‌ها]۴[.

۱-۲-۲ مدل پوسته‌ای

در مدل پوسته‌ای فرض بر این است که پوسته‌ها با پروتون‌ها و نوترون‌هایی که انرژی‌شان بترتیب افزایش می‌یابد پر می‌شود. علی رغم جاذبه شدید بین نوکلئون‌ها که انرژی بستگی را ایجاد می‌کند حرکت نوکلئون‌ها مستقل از یکدیگر بوده و این تناقض ظاهری توسط اثرهای ناشی از طرد پائولی از بین می‌رود زیرا این اصل بشدت امکان برخورد نوکلئون‌ها را محدود می‌سازد.

خواص هسته‌ای متعددی نشان داده است که برای مقادیر خاصی از نوترون و پروتون رفتاری ناپیوسته از هسته بروز می‌کند که منجر به پیشنهاد ساختار پوسته‌ای برای هسته‌ها شد. ناپیوستگی‌ها تماماً وقتی یافت می‌شود که نوترون یا پروتون مقادیر ۲، ۸، ۲۰، ۲۸، ۵۰، ۸۲، ۱۲۶ را داشته باشند. این مقادیر را اعداد جادویی گویند. مطالعات تجربی صورت گرفته بر روی هسته‌های با مقادیر N و Z فوق نشان داده است که این هسته‌ها پایدارترند و انرژی بستگی‌شان نسبت به هسته‌های کاملاً نظیرشان بیشتر می‌باشد.

برخی شواهد تجربی وجود ساختار پوسته‌ای هسته را می‌توان از فراوانی نسبی ویژه هسته‌های زوج- زوج مختلف در شکل (۱-۲) که به صورت تابعی از عدد اتمی A برای ۵۰  رسم شده است بدست آورد. ویژه هسته‌هایی که برای آنها N مساوی ۵۰ و ۸۲ و ۱۲۶ است، سه قله مشخص تشکیل می‌دهند. در حال حاضر این اعداد توسط مدل پوسته‌ای بخوبی توضیح داده شده‌اند.

مدل پوسته‌ای بر اساس مکانیک کوانتومی ساخته و پرداخته شده است و در موارد زیر از جمله بررسی خواص نوکلئیدهایی که موجب گسیل ذرات آلفا، بتا و فوتون‌های گاما می‌شوند و بیان چگونگی میدان الکتریکی و مغناطیسی اطراف هسته‌ها موفق بوده است ولی این مدل برای توضیح عمل شکاف کمکی نمی‌کند]۱،۳[.

شکل۱-۲ فراوانی، H، برای ویژه هسته‌های زوج- زوج مختلف، به‌صورت تابعی از A رسم شده است. فراوانیها نسبت به Si اندازه‌گیری شده‌اند [۱۰^۶H(Si)=]]3[.

۱-۲-۳ مدل خوشه‌ای

مدل خوشه‌ای بر اساس این فرضیه بنا نهاده شده است که می‌توان هسته‌ها را بصورت خوشه‌های کوچک از نوکلئون‌ها که در کنار هم گرد آمده‌اند درنظر گرفت که مهمترین این خوشه‌های نوکلئون‌ها، ذرات آلفا (دوپروتون، دونوترون) می‌باشد. در نتیجه به بررسی مدل ذره آلفا می‌پردازیم. بالا بودن انرژی بستگی ذره  ویژگی‌های خاصی را برای هسته‌هایی نظیر  و  که حاوی تعداد درستی از ذره آلفا هستند بوجود می‌آورد. همان طور که در جدول (۱-۱) مشاهده می­ شود، انرژی بستگی این هسته‌ها مساوی با جمع انرژی بستگی ذرات آلفایشان به اضافه یک سهم کوچک از انرژی بستگی حاصل پیوند بین ذرات آلفا با یکدیگر می‌باشد، که با انتخاب پتانسیل مناسب  می‌توان شعاع و انرژی بستگی هسته‌های خوشه آلفا را محاسبه کرد.

جدول ۱-۱ انرژی بستگی هسته‌های خوشه آلفا ]۶[.

هسته‌های  و … با تقریب مرتبه اول شامل ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶ ذره آلفا هستند که در پیکربندی هندسی معینی مانند مثلث متساوی‌الاضلاع برای  و چهاروجهی  و غیره … مانند آنکه در شکل (۱-۴) نمایش داده شده است گرد هم آمده‌اند.

شکل۱-۳ساختار مولکولی ممکن از هسته‌های خوشه آلفا] ۷[.

مدل ذره آلفا برای حالت‌های برانگیخته می‌توانند خیلی سریعتر از آنچه در مدل است عمل کنند و در این حالت این مدل به هسته‌های سبک ۴۰  محدود می‌شود. مفهوم خوشه در هسته‌ها زمانی که تأکید بر جنبه‌های ذره آلفا باشد اهمیت ویژه‌ای دارد، بخصوص زمانی که واکنش‌گذار با واپاشی آلفا مدنظر باشد. تحقیقات فراوان در مورد واکنش‌گذار آلفا نشان داده است که این واکنش‌ها بصورت تبعیض‌آمیزی باندهای چرخشی در هسته‌های سبک را پرتعداد می‌کنند. این موضوع بصورت صریحی گویای این مطلب است که این حالت‌های مغز مرکزی هسته، دارای ساختار آلفا می­باشند.

برغم موفقیت‌های مختلف مدل خوشه­ای از آنجا که تنها برای هسته‌های سبک کاربرد دارد و برای هسته‌های پایداری که ۴۰  بوده و دارای تعداد نامساوی از پروتون‌ها و نوترون می­باشد به طوری که جمع‌ ساده‌ از ذرات آلفا در آن بی‌کاربرد می­باشد منجر بدان شد که این مدل نتوانست به‌عنوان مدلی کلی‌ نظر فیزیکدانان نظری را جلب کند]۵[.

فصل دوم

تئوری شبکه‌ای FCC

۲-۱ تاریخچه‌ مختصری از تئوری ساختار هسته‌ای

هسته‌ها سیستم‌های پیچیده و اسرارآمیزی هستند که توصیف رفتار و خواص آنها خیلی دشوارتر از اجسام ماکروسکوپی است]۱[.

پیچیدگی ساختار هسته ناشی از این حقیقت است که هسته‌ها شامل بخش‌ها و ترکیبات زیادی می‌باشند، در نتیجه مطالعه آنها نیازمند الگوی خاصی می‌باشد. در طی دهه‌ های مختلف دانشمندان نظریه پرداز همواره بر آن بودند که الگوی مناسب و مدلی کارآمد برای مطالعه ساختار هسته ارائه دهند. مدلی که قادر به توصیف تمامی خواص هسته باشد. از جمله مدل هایی که در دوران اولیه مدل‌سازی هسته‌ای معرفی شده بود، مدل قطره مایع می باشد. این مدل قادر به محاسبه خواص برجسته از هسته نظیر اندازه هسته و انرژی بستگی و بخصوص پدیده شکافت هسته‌ای بوده است.

همزمان در طی دهه‌ های ۱۹۳۰ تا ۱۹۴۰ مدل خوشه‌ای برای محاسبه ثبات غیرمعمول و فراوانی هسته‌هایی نظیر  توسعه داده شد و مدل لایه‌ای در سال ۱۹۴۹ پا به عرصه ظهور نهاد. بر خلاف مدل‌های قطره مایع و خوشه‌‌ای اساس مدل لایه‌ای بر مبنای معادله شرودینگر بنا شده بود و بصورت رسمی به مکانیک کوانتومی ساختار اتمی مرتبط بود که مورد استقبال نظریه‌پردازان قرار گرفت. به عنوان یک نتیجه در دهه ۱۹۵۰ مدل لایه‌ای با ‌وجود آنکه با سایر مدل‌ها تطبیق نداشت به‌عنوان یک نمونه اصلی از تئوری ساختار هسته‌ بخش‌های زیادی از کتاب‌های هسته‌‌ای را به خود اختصاص داد.

اگر چه تجزیه و تحلیل تناقض بین مدل‌های مختلف هسته‌ای غیرممکن بود اما استفاده از کشف ویگنردر مورد تقارن هندسی موجود در مدل شبکه‌ای برای مطالعه ساختار هسته‌ افق جدیدی را در برابر اتحاد مدل‌های هسته‌ای گشود. در تصویری که ویگنر از تقارن کوانتومی هسته‌ای ارائه کرد بیان داشت که هسته‌ بصورت یک گاز فرمی نامنظم نمی‌باشد بلکه بصورت شبکه‌ای از نوکلئون‌ها بوده و عددهای کوانتومی نیمی از اعداد صحیح می‌باشند که ترکیبشان یک شبکه با وجه مرکزی ^[۱۲]FCC را شکل می‌دهد که در شکل (۲-۱) قابل مشاهده می‌باشد]۸[.

شکل۲-۱ تقارن‌ هامیلتونی هسته‌ای]۲[.

تقارن‌های عددهای کوانتومی هامیلتونی هسته‌ای می‌تواند بصورت لایه‌ها و پوسته‌های وابسته به یک شبکه بسته ارائه شوند. هندسه لایه‌ها و زیرلایه‌های نوسانگر هماهنگ، به سادگی در ساختارهای سه‌بعدی و نمودارهای فعال کامپیوتری در شکل (۲-۲) قابل مشاهده می‌باشد.

شکل۲-۲ مدل شبکه‌ای FCC برای هسته‌  ]۹[.

۲-۲ تئوری مدل شبکه‌ای FCC

مدل FCC دارای ساختاری مکعب شکل بوده که ۱۴ نوکلئون در آن بصورت ۸ نوکلئون در گوشه‌های مکعب و ۶ نوکلئون بر روی وجه‌های آن بصورت پارامغناطیس قرار دارند.

نحوه آرایش پروتون‌ها و نوترون‌ها در آن بصورت دو لایه نوترون با یک لایه پروتون که بین آنها ساندویچ شده‌اند و یا بالعکس می‌باشد که در شکل (۲-۳) ارائه شده است]۵[.

مطالعات صورت گرفته نشان می‌دهد این آرایش دارای کمترین حالت انرژی در زمانی که  است می‌باشد]۱۰[.

همان طور که در شکل (۲-۴) دیده می‌شود، مرتب‌سازی پارامغناطیس نوکلئون‌ها در شبکه به این معنی است که همه چهار همسایه نزدیک با لایه‌های افقی محور مغناطیسی‌شان در خلاف جهت هم است.

نمایش ساختار واحد مکعب شکل، مدل FCC که در شکل (۲-۵) دارای چگالی مرکزی هسته‌ای  می‌باشد که شامل  از ۸ نوکلئونی که در گوشه‌ها و  از نوکلئون‌هایی است که در وجه‌های این مدل واقع می‌باشند.

مهمترین ویژگی مدل FCC بر سایر مدل‌های ارائه شده برای مطالعه ساختار هسته این است که بدون نیاز به چاه پتانسیل چالش‌برانگیز مدل لایه‌ای و حل معادله شرودینگر عددهای کوانتومی را بازتولید می‌کند که در ادامه بر شرح کامل آن می‌پردازیم]۵[.

شکل۲-۳ نمونه‌ای از ساختار مدل شبکه‌ای FCC ]5[.

p-n-p n-p-n

شکل ۲-۴ نحوه آرایش پروتون و نوترون در مدل شبکه‌ای FCC ]5[.

شکل۲-۵ چگالی مرکزی هسته در مدل شبکه‌ای FCC ]5[.

۲-۳ هم‌ارزی بین ویژه حالت‌های معادله شرودینگر و شبکه FCC

از جمله ویژگی‌های اساسی مدل FCC آن است که بدون حل معادله شرودینگر قادر به پیشگویی ترازهای کوانتومی نوکلئون‌ها می‌باشد. در ادامه به طور مختصر این هم‌ارزی را در مدل FCC بیان خواهیم کرد.

الف) ویژه مقدار (n:

این ویژه مقدار نشان‌دهنده انرژی لایه اصلی است که نوکلئون در آن قرار می‌گیرد. در معادله موج شرودینگر عدد n بصورت ۲، ۱، ۰ می‌باشد. در مدل اتمی هسته^[۱۳] اگر مرکز مختصات سیستم را در مرکز چهارضلعی لحاظ کنیم و نوکلئون ها را در شبکه FCC مرتب کنیم در صورتی که  باشد دقیقاً تعداد نوکلئون‌ها در هر لایه بسته را مطابق با مدل لایه‌ای تولید می‌کند. در این مدل ارتباط بصورت زیر است،

. (۲-۱)

مختصات سیستم FCC، بصورت اعداد صحیح فرد می باشد که حاصلضرب آنها بر حسب نوع لایه بر اساس پاریته آن لایه، مثبت یا منفی است.

ب) عدد کوانتومی j):

هر مدل هسته‌ای باید توصیفی برای مقادیر j داشته باشد. زیرا j بصورت تجربی قابل اندازه‌گیری است و باید با مقادیری که مدل پیش‌بینی می‌کند یکسان باشد. جالب توجه است که مدل FCC همان الگوی مقادیر j را که مدل ذره مستقل بدست آورده و بر اساس همان هندسه که برای مقادیر n نوکلئون توصیف شده است بازتولید می‌کند. مقادیر j نوکلئون در مدل A.N. بر اساس فاصله نوکلئون‌ها از محور اسپین هسته بصورت زیر است،

. (۲-۲)

بنابراین تکانه j هر نوکلئون وابسته به فاصله نوکلئون از محور اسپین (محور z) هسته است.

ج) عدد کوانتومی m):

در مکانیک کوانتوم عدد کوانتومی m بصورت تکانه زاویه‌ای مداری در راستای یک محور که در مدل شبکه‌ای .A.N محور X است تعریف می‌شود در این مدل اندازه m بر اساس فاصله نوکلئون از محور X میباشد و علامت آن به اسپین نوکلئون بستگی دارد،

. (۲-۳)

د) مقدار اسپین S):

در شبکه FCC اسپین ذاتی نوکلئون‌ها بر اساس جهت اسپین نسبت به محور X تعریف می‌شود صفحات اسپین در مدل A.N. بصورت یک در میان بین اسپین بالا و پائین در راستای محور X تغییر می‌کند،

. (۲-۴)

ز) مقدار ایزواسپین I):

به منظور آنکه مدل A.N. بتواند ترازهای انرژی را برای پروتون و نوترون بازتولید کند پروتون ها نوترون ها باید به طور یک در میان در راستای محور Z قرار گیرند. این ساختار از لحاظ انرژی کمترین مقدار را برای هسته‌ای که  دارد، را دارا می‌باشد]۱۱[. (شکل (۲-۶) را ملاحظه کنید.)

شکل۲-۶ نمایش اعداد کوانتومی در مدل شبکه‌ای FCC ]12[.

۲-۴ مدل ذره مستقل و قطره مایع در مدل شبکه‌ای FCC

از دیدگاه تجربی نوکلئون ها ذراتی هستند که دارای شعاع میانگین مربعی در حدود fm1می باشند]۱۳[. بعلاوه آزمایش‌های پراکندگی نوکلئون- نوکلئون نشان داده است که نیروی هسته‌ای دارای گستره‌ای بسیار اندک در حدود (fm2~1) می‌باشد]۸[، (جدول (۲-۱) و شکل (۲-۷) را ملاحظه کنید).

از طرفی زیربنای مدل لایه‌ای مدرن بر اساس وجود نوکلئون‌هایی است که به وسیله یک چاه پتانسیل مرکزی جذب شده‌اند. بنابراین به‌عنوان اولین نتیجه این نوکلئون‌ها با نوکلئون‌های محلی دیگر داخل هسته بر هم‌کنشی انجام نمی‌دهند. این حقایق چنین پیشنهاد می‌کند که جنبه‌های غیرکلاسیک مکانیک کوانتومی به توصیف نوکلئون مجزا محدود ‌شوند، در حالی که مشخصه‌ های هسته‌های چند نوکلئونی به سادگی می‌توانند به‌عنوان مجموع مشخصات نوکلئون‌ها در چارچوب قطره مایع با چگالی زیاد یا مدل‌های خوشه‌ای و شبکه‌ای ارائه شوند. بر اساس فرضیه‌های تجربی شناخته شده از نوکلئون‌ها و نیروهای هسته‌ای وجود یک مدل شبکه‌ای پویا یا مایع چگال نوکلئون از هسته اجتناب‌ناپذیر می‌باشد.

جدول ۲-۱ مقادیر مجذور شعاع میانگین مغناطیسی نوکلئون‌ها]۱۳[.

magnetic RMS radii of nucleous
		Particle
fm 012/0  ۰۸۶/۱		Proton
fm 015/0  ۸۷۳/۰		Neutron

 

(b) (a)

شکل۲-۷ a) ابعاد هسته‌ و نیروی هسته‌ای b) نیروی کوتاه برد هسته‌ای]۱۳[.

مدل شبکه‌ای FCC دارای ویژگی‌های ماکروسکوپی بشرح ذیل می‌باشد:

۱) قطره مایع چگال

۲) نشان‌دهنده ساختار لایه‌ای هسته

۳) دارای ساختار خوشه‌بندی چهارضلعی ذاتی در داخل شبکه بسته‌بندی شده از نوکلئون‌ها

مهمترین جذابیت مدل شبکه‌ای FCC برای مطالعه ساختار هسته برخاسته از اکتشاف ویگنر می‌باشد. او چنین اظهار داشت که تمام تقارن‌های عددهای کوانتومی هسته‌ای که امروزه به‌عنوان مدل ذره مستقل آن را می‌شناسیم به صورت منحصر بفردی در یک شبکه آنتی‌فرومغناطیس FCC با لایه‌های یک در میان ایزواسپین قالب باز تولید می‌باشد.همان طور که در (شکل ۲-۸) نشان داده شده است، این آرایش از ساختار نوکلئون‌ها دارای کمترین چگالی انرژی از ماده هسته‌ای زمانی که  است، می‌باشد]۱۰[.

محاسبات کامل مکانیک کوانتومی گویای این نکته است که زمانیکه ماده هسته‌ای جامد تلقی می‌شود مناسب‌ترین پیکربندی که دارای کمینه انرژی می‌باشد یک شبکه پارامغناطیس FCC است که هماهنگ با یافته‌های ویگنر در زمینه حالت‌های انرژی نوکلئونی می‌باشد.

همان طور که در جدول (۲-۲) ارائه شده است، موفقیت‌های مدل ذره مستقل بر اساس تشریح مکانیک کوانتومی همه حالت‌های ممکن نوکلئون‌ بوده که بر اساس معادله شرودینگر اینگونه مطرح می‌شود،

. (۲-۵)

مدل ذره مستقل با توجیه یک ساختار قاطع برای نوکلئون‌های مجزا، محاسبه حالت‌های هسته‌ای را بصورت مجموع مشخصه‌ های نوکلئون‌های مستقلش ممکن ساخته است. این پیش‌بینی‌ها موفقیت‌های نظری مهمی به شمار آمده و نقش چشمگیری را در ارائه مدل ذره مستقل در اوایل دهه ۱۹۵۰ ایفا کرده‌اند]۱۲[. علی‌رغم غیرحسی بودن وضعیت فاز «گازی» هسته‌ای پیشنهاد شده توسط مدل ذره مستقل، توانایی این مدل به این حقیقت وابسته بوده است که حالت انرژی هر نوکلئون مستقل در مدل به وسیله مجموعه منحصر بفردی از عددهای کوانتومی نوکلئون‌ها n, j, m, l, s, i مشخص می‌شود. همان گونه که در تشریح هسته‌ای معادله شرودینگر مشخص شده است، نقص اصلی مدل ذره مستقل فرضیه انتخاب یک پتانسیل مرکزی مناسب برای حل معادله شرودینگر می باشد.در حالی که مهمترین جذابیت مدل شبکه‌ای FCC که نظر فیزیکدانان نظریه پرداز را بخود جلب نمود، این بوده است که این مدل از طریق حفظ خواص ذره مستقل از وضعیت نوکلئون‌های مجزا بدون نیاز به حل معادله شرودینگر و انتخاب چاه پتانسیل چالش‌برانگیز مدل لایه‌ای قادر به بازتولید کلیه خواص منتج از مدل ذره مستقل می‌باشد.

حدود مقادیر عددهای کوانتومی حاصل از معادله (۲-۵) بشرح زیر می‌باشد،

(۲-۶)

(۲-۷)

(۲-۸)

(۲-۹)

. (۲-۱۰)

همراه با معادله شرودینگر معادله (۲-۶) تا (۲-۱۰) بیان مختصری از مکانیک کوانتوم حاصل از مدل ذره مستقل می‌باشند که بر اساس آنها عددهای جادویی مدل لایه‌ای می‌توانند از طریق بررسی پتانسیل مناسب هسته‌‌ای بدست آیند]۱۲[.

به دنبال هدف اتحاد مدل‌های ساختار هسته‌ای، همان طور که در جدول (۲-۲) ارائه شده است، مهمترین مورد در مدل ذره مستقل این است که موجهای برجسته از توابع موج (n_x, n_y, n_z) که موقعیت گروه‌های مجزا مشخص می‌کند در مدل شبکه‌ای FCC قادر به تعریف شدن باشد.

ارتباط بین اعداد کوانتومی و مکان نوکلئون ها در مدل شبکه ای FCC برای هر نوکلئون بر اساس معادلات (۲-۱۱) تا (۲-۱۳) یا برعکس بیان می‌شود. هماهنگی‌های منحصر بفرد مختصات کارتزین برای هر نوکلئون به‌عنوان تعریفی از ویژگی‌های کوانتومی‌شان در معادلات (۲-۱۴) تا (۲-۱۸) به‌کار می‌روند،

(۲-۱۱)

(۲-۱۲)

(۲-۱۳)

(۲-۱۴)

(۲-۱۵)

(۲-۱۶)

(۲-۱۷)

. (۲-۱۸)

نکته بسیار جالب این است که عددهای کوانتومی شناخته شده و اشغال پروتون‌ها و نوترون‌ها در n لایه و j و m زیر لایه‌ها در هر دو مدل یکسان می‌باشد. همان طور در شکل (۲-۸) نشان داده شده است تقارنهای انتزاعی معادله شرودینگر دارای تقارنهای مرتبطی در فضای مختصات می‌باشد به‌ویژه لایه‌های n، j، m دارای تقارن‌های کروی، استوانه‌ای، مخروطی بوده در حالیکه مقادیر s و j لایه‌بندی راست گوشه‌ای را تولید می‌کنند]۵[.

جدول۲-۲ نمایش حالت کوانتمی نوکلئون ها و عدد اشغال در لایه ها]۵[.

شکل ۲-۸ آرایش حالت های کوانتمی در ساختار FCC ]12[.

بررسی تقارن‌های ساختار در شکل (۲-۹) در رابطه با مختصات کارتزین اعتبار این معادلات را برای ساختار واحد مدل شبکه‌ای FCC نشان می‌دهد. تفاوت بین مدل شبکه‌ای FCC و ذره مستقل به طور اولیه به مفاهیم‌شان در رابطه با ساختار محلی داخلی هسته مربوط می‌شود.

مدل IPM اظهار می دارد که زیر ساختار هسته‌ای، حاصل شکاف انرژی در پتانسیل مناسب هسته‌ای موثر بلند برد می‌باشد در حالیکه مدل شبکه‌ای FCC همان ساختار کوانتومی را بصورت قطره مایع چگال که از طریق نیروی هسته‌ای واقعی با گستره کوتاه برد به هم متصل شده‌اند، همراه با زیرساختاری که از طریق واکنش‌های نوکلئون- نوکلئون محلی تعیین شده است درنظر می‌گیرد. در این رابطه مدل شبکه‌ای FCC دارای مشخصاتی شبیه به مدل IPM و LDM می‌باشد اما دارای زیرساختار اضافه‌ای است که در مدل قطره مایع و IPM کشف شده است]۸[.

شکل۲-۹ تقارن‌های مرتبط با مختصات کارتزین در مدل شبکه‌ای FCC ]12[.

۲-۵ خوشه‌های آلفا در شبکه FCC

اگر چه مدل خوشه‌ای آلفا در رابطه تئوری ساختار هسته‌ دارای اهمیت کمتری می‌باشد و موفقیت‌های آن به سادگی در داخل چارچوب فاز مایع LDM و فاز گازی IPM تفسیر نمی‌شود اما این مدل در مدل شبکه‌ای FCC توضیحات ساده‌ای می‌یابد. شکل (۲-۱۰) نشان می‌دهد که چگونه شبکه FCC دارای گروهبندی ذاتی چهارضلعی از نوکلئون‌های داخل شبکه می باشد]۵[.

شکل ۲-۱۰ آرایش خوشه آلفا در مدل شبکه‌ای FCC مربوط به  ]۵[.

۲-۶ جمع بندی

مدل شبکه‌ای FCC با بازتولید خواص هسته‌ای مدل های قطره مایع، خوشه‌ای و ذره مستقل منجر بوجود آمدن یک مدل متحد در میان این سه مدل شده است که بصورت خلاصه در زیر آن را مطرح می‌کنیم.

1. بازتولید خواص مدل قطره مایع بخاطر برهم‌کنش نوکلئون- نوکلئون کوتاه برد که بصورت ذاتی در هندسه مدل FCC نهفته است.
2. تولید ترکیب‌های خوشه‌ای یکسان آلفا (یک مجموعه چهار بعدی ذاتی از نوکلئون‌ها در شبکه‌های بسته)
3. همه لایه‌های کوانتومی n و زیر لایه‌های m و j مدل ذره مستقل که بصورت کروی، استوانه‌ای و مخروطی در داخل شبکه FCC با پروتون‌ها و نوترون‌های اشغال شده در هر لایه و زیرلایه که در مدل لایه‌ای با حل معادله شرودینگر تولید شده بود.

ساختارهای پیچیده‌تر FCC بصورت ساده‌ای با بهره گرفتن از نرم‌افزارهای طراحی شده ^[۱۴] NVS توسط کوک^[۱۵] و همکارانش قابل مشاهده می‌باشد که براحتی قادر به پیشگویی خواص هسته‌ای از قبیل شعاع میانگین مربع و انرژی بستگی بوده که در فصل سوم ضمن تشریح کامل آن به مقایسه آن با مدل قطره مایع و داده‌های تجربی و قابلیت بررسی این مدل به عنوان مدلی مناسب برای مطالعه ساختار هسته می‌پردازیم.

فصل سوم

محاسبه خواص ماده هسته‌ای با استفاده مدل شبکه‌ای FCC از طریق کد NVS،

معرفی مدل دابل- فولدینگ و مدل باس

۳-۱ مقدمه

هسته‌ها بصورت ذاتی سیستمی ناشناخته هستند، در نتیجه شناسایی ساختار هسته مبتنی بر درک طبیعت نیروی عمل‌کننده بین نوکلئون‌ها و توصیف خواص هسته استوار است]۱[. از طریق مدل‌های هسته‌ای می‌توان به خواص هسته‌های مرکب دست یافت]۱۴[. اهمیت شناخت خواص هسته‌ای از این منظر مهم است که هر چه درک بهتری از ساختار هسته داشته باشیم به تطابق بهتری با داده‌های تجربی بر هم‌کنش‌ها در مطالعه تئوری بر هم‌کنش‌ها دست خواهیم یافت. بنابراین هر مدلی که در پیش‌بینی خواص ماده هسته‌ای موفق‌تر باشد می‌تواند انتخاب مناسبی برای بررسی برهم‌کنش‌های هسته‌ای باشد. در فصل دوم به تفصیل به معرفی مدل شبکه‌ای FCC و توانایی این مدل به باز تولید تقارن‌های مکانیک کوانتومی معادلات شرودینگر بدون نیاز به چاه پتانسیل چالش‌برانگیز مدل لایه‌ای پرداختیم. لذا در ابتدای این فصل به بررسی پیش‌بینی خواص ماده هسته‌ای مانند شعاع میانگین مربع و انرژی بستگی که مقادیر آن وابسته به توزیع نوکلئون‌هاست با بهره گرفتن از مدل شبکه‌ای FCC از طریق کد محاسباتی NVS و مقایسه آن با داده‌های تجربی می‌پردازیم. از آنجائی که در مطالعه سطح مقطع همجوشی یون‌های سنگین پتانسیل هسته‌ای بین هسته‌های پرتابه و هدف نقش بسزایی دارد، ادامه این فصل به معرفی پتانسیل دابل فولدینگ و پتانسیل باس اختصاص یافته است.

۳-۱-۱ انرژی بستگی

یکی از مهمترین خواص ماده هسته‌ای انرژی بستگی می‌باشد که با دقت بالایی برای گستره وسیعی از هسته‌ها شناخته شده است. اما از آنجایی که نیروی هسته‌ای بخوبی شناخته شده نمی‌باشد در نتیجه انرژی بستگی کل نمی‌تواند بر اساس ویژگی‌ نیروی هسته‌ای شرح داده شود و نیازمند مدل ساده ای برای ارائه می‌باشد. در مدل شبکه‌ای FCC انرژی بستگی کل هسته بصورت زیر تعریف می‌شود]۱۵[،

(۳-۱)

همان طور که در شکل (۳-۱) برای PP₁ تا PN₃نشان داده شده است، در رابطه فوق PP، NN و PN بترتیب مربوط به پیوندهای پروتون- پروتون، نوترون- نوترون و پروتون نوترون است.

همچنین Q مجموع عکس فاصله بین جفت پروتون‌ها بوده است و سایر ضرایب ثابت a تا j از طریق برازش multiple regression بدست آمده است و برای انجام یک برارزش مناسب برای ۱۲۳۶ هسته بکار گرفته شده است.

در جدول (۳-۱) انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون برای گستره‌ای از عناصر لیست شده است و مقادیر آنها با داده‌های تجربی مقایسه شده است. همچنین در شکل (۳-۲) مقایسه انرژی بستگی در مدل شبکه‌ای با نتایج حاصل از داده‌های آزمایشگاهی ارائه شده است]۱۵[.

شکل ۳-۱ نمونه‌ای از برهم کنش همسایه‌های اول- دوم و سوم در مدل شبکه‌ای FCC ]15[.

جدول ۳-۱ مقایسه انرژی بستگی به ازای هر نوکلئون مربوط به گستره‌ای از هسته‌های کروی در مدل FCC با داده‌های تجربی و قطره مایع]۱۶[.

(Mev) Nucleus	LDM	FCC	Exp
	۲۱۷۵/۵	۰۷۵/۷	۰۷۵/۷
	۳۸۸۰/۸	۶۹۰/۸	۵۵۱/۸
	۶۳۹۳/۸	۶۴۰/۸	۷۲۲/۸
	۶۵۳۰/۸	۵۱۱/۸	۷۷۵/۸
	۶۵۳۳/۸	۲۱۵/۸	۷۹۰/۸
	۵۵۵۸/۸	۰۷۸/۸	۷۳۱/۸
	۵۶۳۷/۸	۷۸۸/۸	۷۱۳/۸
	۳۶۴۵/۸	۴۵۵/۸	۶۶۴/۸
	۲۶۷۹/۸	۵۹۰/۸	۵۲۳/۸
	۲۴۳۲/۸	۴۹۵/۸	۳۷۸/۸
	۸۲۵۵/۷	۸۶۱/۷	۳۴۶/۸
	۷۴۸۶/۷	۹۹۶/۷	۹۱۵/۷

شکل ۳-۲ مقایسه انرژی بستگی در مدل شبکه‌ای با مقادیر تجربی]۵[.

۳-۱-۲ شعاع میانگین مربع در مدل شبکه FCC

در مدل FCC مقدار میانگین شعاع هسته را می‌توان بصورت زیر تعریف کرد،

. (۳-۲)

بهترین مقدار تجربی بدست آمده برای شعاع میانگین مربع نوکلئون برابر با fm 48/0 است]۱۷[. مقدار شعاع میانگین مربع هر نوکلئون از مرکز شبکه بوسیله روابط زیر برای هر نوکلئون بدست می‌آید. (به عبارت دیگر با داشتن مکان نوکلئونها به صورت روابط (۳-۳) و با بهره گرفتن از معادله بالا می‌توانیم RMS را محاسبه کنیم).

(۳-۳)

شعاع میانگین مربع گستره‌ای از عناصر در جدول (۳-۲) لیست شده است همچنین در شکل (۳-۳) ارزیابی RMS حاصل از مدل FCC با نتایج آزمایشگاهی مشاهده می‌شود.

جدول۳-۲ مقایسه شعاع میانگین مربع در مدل FCC با مدل قطره مایع و داده تجربی]۱۶[.

RMS(fm) Nucleus	LDM	FCC	Exp
	۹۰/۱	۷۴/۱	۶۷/۱
	۱۰/۴	۳۹/۳	۴۸/۳
	۳۶/۴	۶۵/۳	۵۹/۳
	۴۸/۴	۷۷/۳	۶۴/۳
	۵۹/۴	۸۴/۳	۷۳/۳
	۶۵/۴	۹۱/۳	۸۷/۳
	۴۴/۵	۴۱/۴	۳۱/۴
	۸۵/۵	۶۷/۴	۶۲/۴
	۲۲/۶	۹۸/۴	۸۶/۴
	۲۶/۶	۰۱/۵	۹۰/۴
	۹۸/۶	۵۰/۵	۴۳/۵
	۱۱/۷	۶۵/۵	۵۰/۵

شکل ۳-۳ مقایسه شعاع میانگین مربع در مدل شبکه‌ای با داده تجربی]۵[.

۳-۲ توزیع چگالی نوکلئون‌ها

در محاسبه سطح مقطع بر هم‌کنش‌های هسته‌ای توزیع چگالی پروتون‌ها و نوترون‌ها و ضخامت پوسته هسته‌ای نقش مهمی را ایفا می‌کنند. همان طور که در شکل (۳-۴) مشاهده می شود در مدل شبکه‌ای FCC هر هسته بصورت یک چند وجهی است که در فاصله r ( شعاع کره‌ای که با مرکز سطح چند وجهی در تماس است) چگالی ثابت و از فاصله r تا d (فاصله سطح کره تا گوشه چند وجهی ) پوسته هسته می‌باشد که چگالی سریعاً کاهش می‌یابد]۵[.

شکل۳-۴ نمایش مرکز هسته و پوسته هسته در مدل شبکه ای FCC ]5[.

از مقایسات بین محاسبات پیچیده شعاع میانگین مربع و هاتری‌فوک^[۱۶] با نتایج پراکندگی الکترون‌های فرودی در انرژی‌های مختلف برای بسیاری از هسته‌ها نشان داده شده است که توزیع نوکلئون‌ها در هسته بصورت تابع زیر تغییر می‌کند،

. (۳-۴)

با بهره گرفتن از مدل شبکه‌ای FCC هسته‌های ، ، ،  تولید و توزیع نوکلئون‌ها را برای این هسته‌ها محاسبه کرده‌ایم. در شکل‌های (۳-۴) به مقایسه نتایج حاصل از مدل FCC با تابع توزیع چگالی دو پارامتری فرمی رابطه (۳-۴) پرداخته ایم. ضرایب موجود در رابطه از محاسبات هارتری فوک حاصل شده‌اند که مقادیر آنها در جدول (۳-۳) داده شده است. همان طور که در شکل ها دیده می‌شود تابع توزیع نوکلئون‌های حاصل از محاسبات مدل FCC در توافق مناسبی با نتایج هارتری فوک برای تابع توزیع چگالی ماده هسته‌ای می‌باشد.

شکل۳-۵ توزیع چگالی هسته‌ای برای هسته های a)  ،b)  ،c)  ،d)  با بهره گرفتن از مدل شبکه‌ای FCC و مقایسه با تابع توزیع دو پارامتری فرمی حاصل از محاسبات HFB ]18[.

جدول ۳-۳ ضرایب موجود در رابطه دو پارامتری فرمی با بهره گرفتن از محاسبات HFB برای هسته‌های  ،  ،  ،  ]۱۸[.

ap [fm]	rp [fm]	rhop [fm-3]	an [fm]	rn [fm]	rohn [fm-3]	Nuclei
۴۴۶۹/۰	۶۹۸۶/۲	۰۷۶۵/۰	۴۶۰۲/۰	۶۵۱۹/۲	۰۷۸۹/۰
۴۷۵۰/۰	۱۹۸۴/۳	۰۸۳۶/۰	۴۷۲۶/۰	۱۶۷۱/۳	۰۸۶۰/۰
۴۹۹۱/۰	۹۷۲۵/۴	۰۷۰۶/۰	۵۱۱۹/۰	۰۲۰۱/۵	۰۸۹۰/۰
۴۷۰۱/۰	۶۸۹۲/۶	۰۶۲۴/۰	۵۶۰۶/۰	۷۱۶۲/۶	۰۹۲۹/۰

۳-۳ مدل باس

یکی از مهمترین بخش‌ها در شرح برهم‌کنش هسته‌ای محاسبه پتانسیل هسته- هسته می‌باشد. از آنجایی که بسیاری از جنبه‌های فیزیکی فرایندهای هسته‌ای در برهم‌کنش یون‌های سنگین قابل درک می‌باشد، در سالهای اخیر توجه محققین به این نوع فرایندها جلب شده است]۱۴[.

روش‌ها و متدهای مختلفی برای محاسبه پتانسیل هسته‌ای وجود دارد که در آن میان می‌توان بر مدل های دابل- فولدینگ و باس اشاره کرد که در ادامه به شرح این مدل‌ها می‌پردازیم.

پتانسیل باس، پتانسیلی پدیده شناختی مربوط به برهم‌کنش نوکلئون- نوکلئون که بصورت زیر تعریف می‌شود]۱۹[،

. (۳-۵)

در عبارت بالا  ، S توسط روابط زیر ارائه می‌شوند. R₁ ، R₂ مکان نوکلئون ها در هسته های پرتابه و هدف وR برداری است که مراکز جرم هسته ها را بهم متصل می کند.

(۳-۶)

(۳-۷)

به صورت زیر تعریف می شوند، R_si و R_i همچنین

(۳-۸)

(۳-۹) .

۳-۳-۱ مدل دابل- فولدینگ

یکی از روش‌های محاسبه پتانسیل هسته‌ای که مورد توجه فیزیکدانان تئوری قرار گرفته است مدل دابل- فولدینگ می‌باشد. این مدل به علت وابستگی به چگالی هسته‌ای پرتابه و هدف قادر به توجیه اثراتی نظیر تغییر شکل هسته‌ها و پخشیدگی نوکلئون‌ها می‌باشد. مدل دابل- فولدینگ بر اساس پتانسیل نوکلئون- نوکلئون از نوع M3Y وابسته یا مستقل از چگالی به محاسبه پتانسیل هسته‌ای می‌پردازد. از آنجایی که این مدل در توصیف برهم‌کنش‌های هسته‌ای تا حدی موفق بوده است، در این بخش به بررسی محاسباتی این مدل اختصاص یافته است.

از آنجایی که برهم‌کنش بین نوکلئون‌ها از دو بخش تبادلی^[۱۷] و مستقیم^[۱۸] تشکیل شده است پتانسیل هسته‌ای در این مدل به صورت زیر تعریف می‌شود،

. (۳-۱۰)

که در آن بخش‌های تبادلی و مستقیم به صورت زیر می‌باشد،

(۳-۱۱)

.

(۳-۱۲)

همان طور که در شکل (۳-۶) نشان داده شده است، در رابطه فوق  مکان نوکلئون‌ها در هسته پرتابه و  مکان نوکلئون‌ها در هسته هدف،  فاصله بین دو نوکلئون می‌باشد و R برداری است که مراکز جر هسته‌های پرتابه و هدف را بهم متصل می‌کند.

شکل ۳-۶ نمایشی از برخورد دو هسته کروی در مدل دابل- فولدینگ.

عدد موج است که به حرکت نسبی هسته‌های برخوردکننده وابسته بوده و به صورت زیر تعریف می‌شود،

. (۳-۱۳)

در رابطه (۳-۱۳)  جرم خالص نوکلئون و  جرم کاهش یافته سیستم است و به صورت زیر می‌باشد،

. (۳-۱۴)

انتگرال‌های موجود در بخش تبادلی و مستقیم پتانسیل هسته‌ای از سه بخش زیر تشکیل شده است که در ادامه به شرح اختصاری هر یک از آنها می‌پردازیم.

۱- توابع توزیع چگالی هسته‌ای

۲-  بخش مرکزی بر هم‌کنش نوکلئون- نوکلئون

۳-  تابع وابسته به انرژی

۳-۳-۱-۱ توابع توزیع چگالی هسته‌ای

در حالت کلی تابع توزیع چگالی هسته‌ای برای هسته‌های کروی و تغییر شکل یافته به صورت زیر تعریف می‌شود،

. (۳-۱۵)

که برای هسته‌های کروی و تغییر شکل یافته، ترتیب با روابط (۳-۱۶)، (۳-۱۷) به صورت زیر داده می‌شود،

(۳-۱۶)

. (۳-۱۷)

بر اساس نتایج حاصل از پراکندگی  چگالی اشباع واقع در مرکز هسته دارای مقدار  می‌باشد.  پارامتر تغییر شکل هسته و  زاویه بین راستای محور تقارن هستند تغییر شکل یافته با محور تقارن آزمایشگاهی،  فاصله‌ای است که در آن چگالی از مرکز هسته به نصف مقدار اولیه‌اش می رسد و a ثابت پخشیدگی سطحی نوکلئون‌ها در هسته می‌باشد که بر اساس ضخامت پوسته t با رابطه  قابل تعریف می‌باشد که در شکل (۳-۷) ارائه شده است.

شکل ۳-۷ توزیع شعاعی چگالی دو پارامتری فرمی]۱[ .

۳-۳-۱-۲ بخش مرکزی بر هم‌کنش نوکلئون- نوکلئون

بخش مرکزی انتگرال دوگانه DF مربوط به برهم‌کنش نوکلئون- نوکلئون که متشکل از بخش‌های وابسته به اسپین ایزواسپین واسپین و ایزواسپین بصورت زیر قابل تعریف است،

. (۳-۱۸)

از آنجایی که عملگر ایزواسپین  می‌باشد در هسته‌های پرتابه و هدف اگر تعداد نوترون و پروتون برابر باشد در  جمله وابسته به ایزواسپین حذف خواهد شد. از طرفی اسپین کل هسته در هسته‌هایی که تعداد پروتون و نوترون در آنها زوج می‌باشد صفر است در نتیجه اگر یکی از هسته‌ها زوج- زوج باشد آنگاه می‌توان در رابطه فوق از جمله مربوط به اسپین هم صرفنظر نمود.

با حذف جملات مربوط به اسپین و ایزواسپین در بخش مرکزی بر هم‌کنش نوکلئون- نوکلئون رابطه زیر به جمع بر روی جملات یوکاوا بدست می‌آید،

. (۳-۱۹)

ثابت‌های موجود در رابطه (۳-۱۹) از طریق آزمایش‌های پراکندگی برای دو نسخه Paris و Reid بدست می‌آید که در جدول (۳-۴) ارائه شده است.

بخش‌های  و  به استفاده از ضرایب موجود در جدول برای نسخه Paris بصورت زیر می‌باشد]۲۰،۲۱[،

(۳-۲۰)

. (۳-۲۱)

و در Reid بصورت زیر خواهد بود،

(۳-۲۲)

. (۳-۲۳)

۳-۳-۱-۳ تابع وابسته به انرژی 

بخش وابسته به انرژی برهم‌کنشی نوکلئونی به صورت زیر ارائه می‌شود،

. (۳-۲۴)

در رابطه فوق  انرژی ذره پرتابه به تعداد نوکلئون‌های هسته می‌باشد و ثابت k برای نسخه‌های Paris و Reid در جدول ( ۳-۴ ) ارائه شده است.

در فصل چهارم به شرح کامل محاسبه پتانسیل هسته‌ای از طریق مدل FCC برای توزیع نوکلئون‌ها و مقایسه با مدل دابل فولدینگ و پتانسیل باس می‌پرازیم.

جدول۳-۴ مقادیر ثابت در روش Reid، Paris ]20[.

فصل چهارم

محاسبات و نتیجه ­گیری

فصل چهارم

محاسبات و نتیجه ­گیری

۴-۱ مقدمه

توسعه در پدیده هجوشی هسته­ای نیازمند پیشرفت در سه بخش مجزای زیر است،

1. داده های آزمایشگاهی
2. فرضیه­هایی در مورد پدیده­شناسی
3. تکامل در تأسیس تئوری ساختار هسته­ای.

در نتیجه از جمله بخش­های مورد توجه در سالهای اخیر در فیزیک هسته­ای انتخاب مدلی مناسب برای توزیع نوکلئون­ها در هسته بوده است. مدلی که علاوه بر توجیه کامل خواص هسته­ از طریق انطباق با داده های تجربی در گامی فراتر بتواند روند انجام محاسبات برای برهم­کنش یون­های سنگین را سرعت ببخشد]۴،۲[. فصل دوم این تحقیق به معرفی کامل ساختار مدل شبکه­ ای FCC به عنوان مدلی پیشنهادی برای توزیع نوکلئون­ها که توسط ویگنر ارائه شده بود اختصاص یافته است. در فصل سوم خواص هسته حاصل از پیشگویی­های مدل شبکه­ ای FCC را با داده ­های تجربی در جدول های (۳-۲)، (۳-۳) بترتیب حاصل از انرژی بستگی و شعاع میانگین مربع مقایسه کرده ایم. همچنین در شکل (۳-۵) به مقایسه توزیع چگالی حاصل از هسته های  ،  ،  و  از طریق مدل شبکه ای FCCبا توزیع چگالی دو پارامتری فرمی پرداختیم. همان طور که ملاحظه می شود دارای توافق مناسبی با یکدیگر می باشند.

در این فصل به منظور ارزیابی مدل شبکه­ ای FCC برای بکارگیری در برهم­کنش یون­های سنگین، پتانسیل کل را محاسبه کرده و به مقایسه سطح مقطع همجوشی واکنش­های  ،  و  حاصل از این مدل با پتانسیل دابل-فولدینگ، باس و داده ­های تجربی می­پردازیم.

۴-۲ محاسبه پتانسیل کل هسته­ای برای واکنش­های  ،  ،

در مطالعه برهم­کنش­های همجوشی یون­های سنگین برای محاسبه پتانسیل کل از مدل شبکه­ ای FCC برای توزیع نوکلئون­ها در حالت پایه برای هسته استفاده کرده­ایم از آنجا که مدل FCC هسته­های جادویی و با لایه بسته را بخوبی پیش ­بینی می­ کند. برای محاسبه پتانسیل به انتخاب واکنش­هایی پرداختیم که حداقل یکی از هسته­های شرکت­کننده در واکنش جادویی یا هسته­هایی با لایه بسته باشد. پتانسیل کل هسته- هسته را با جمع­بندی بر روی تمام برهم­کنش­های ممکن بین نوکلئون­های هسته­های پرتابه و هدف می­توان محاسبه نمود که بصورت مجموع پتانسیل کولنی و پتانسیل هسته­ای می­باشد،

. (۴-۱)

مراحل انجام محاسبات برای محاسبه پتانسیل کل بصورت زیر است:

1. تعیین مکان اسپین و ایزواسپین نوکلئون­ها در هسته­های پرتابه و هدف با بهره گرفتن از مدل FCC
2. چرخش تصادفی هسته­های پرتابه و هدف بدور مرکز جرم­شان با بهره گرفتن از زاویه­ های اویلر
3. جمع همه برهم­کنش­های نوکلئون- نوکلئون و محاسبه میانگین پتانسیل کل

۴-۲-۱ محاسبه پتانسیل کولنی

برای محاسبه پتانسیل پروتون- پروتون در فاصله­ای بزرگتر از شعاع پروتون fm9/0 از رابطه زیر استفاده شده است،

. (۴-۲)

که درآن هر پروتون بصورت یک ذره نقطه­ای فرض شده است و این فرضیه در فاصله­ای کمتر از شعاع پروتون رد شده می­باشد. اگر فاصله بین دو پروتون از قطر پروتون کوچکتر باشد آنگاه اثرات خود انرژی به بینهایت میل می­ کند که برای رفع این مشکل پتانسیل اصلاح شده زیر را بکار برده­ایم]۲۲[،

(۴-۳)

.

۴-۲-۲ محاسبه پتانسیل هسته­ای

برای محاسبه پتانسیل هسته­ای از نیروی برهم­کنشی M3Y از نوع Paris استفاده کرده­ایم که در بخش

(۳-۳-۲) به معرفی آن پرداختیم. بخش مرکزی، برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون بصورت زیر است،

 

. (۴-۴ )

که در آن  و  بترتیب ماتریس­های پائولی ایزواسپین و اسپین هستند،  قسمت تبادلی(مستقیم) برهم­کنش­هایی است که پارامترهای آن بصورت کاملی در مراجع ]۲۳،۲۴،۲۵[ وجود دارد.

برای سادگی قسمت V_E(x) برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون را در تقریب Zero-range محاسبه نموده ایم،

. (۴-۵)

فرم­های کامل  و  در مراجع ]۲۶[ داده شده است.

اگر اسپین کل نوکلئون­های سطح یکی از هسته­های شرکت­کننده در واکنش صفر شود می­توان از ترم­های وابسته به اسپین در محاسبه پتانسیل کل صرف نظر کرد و این قضیه در مورد ایزواسپین هم صادق می­باشد.

از آنجا که اسپین یا ایزواسپین بر هم­­کنشی نوکلئون- نوکلئون حداقل یکی از هسته­های شرکت­کننده در واکنش در معادله (۴-۵) صفر می­ شود می­توان از این ترم­ها در محاسبه پتانسیل کل صرف نظر کرد.

پتانسیل برهم­کنشی محاسبه شده برای واکنش­های  ،  ،  با بهره گرفتن از مدل شبکه­ ای FCC و برهم­کنش نوکلئون- نوکلئون M3Y در شکل (۴-۲)، (۴-۱) نشان داده شده است. در این شکل ها نتایج بدست آمده را با پتانسیل­های DF و Bass مقایسه کرده­ایم. از آنجایی که ارتفاع پتانسیل کل و موقعیت شان دو کمیت حساس در محاسبه سطح مقطع می­باشند، در جدول (۴-۱) نتایج حاصل از آنها را باروش­های DF و VBass و داده ­های تجربی مقایسه نموده­ایم. که توافق نسبتاً خوبی را نشان می­دهد.

شکل۴-۱ پتانسیل برای واکنش­های همجوشی a )  ، b)  ، c)  حاصل از مدلDF، VBass و FCC.